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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 29

Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

y   d x - 4 x + y 6 d y = 0

Passo 1

Bom galera vamos lá matar mais um exercício

Temos aqui uma equação diferencial linear em x , porque ela pode ser escrita no formato d x d y + A y . x = B ( y ) , olha, vamos dividir tudo por d y

y d x d y - 4 x + y 6 = 0

Agora dividindo tudo por y

d x d y - 4 x + y 6 y = 0

d x d y - 4 y x = 4 y 5     ( I )

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

x ( y ) = 1 I y ∫ I y . B y   d y + c     ( I I )

Onde I y = e ∫ A y   d y

Na nossa equação ( I ) , temos A y = - 4 y e B y = 4 y 5 então:

I x = e ∫ - 4 y   d y

I x = y - 4

Belezinha, já temos o nosso fator de integração

Passo 2

Agora que temos o fator de integração, vamos substituir o que temos na expressão ( I I ) :

x y = 1 y - 4 ∫ y - 4 . 4 y 5   d y + c     ( I I I )

Vamos resolver a integral separadamente:

∫ y - 4 . 4 y 5   d y = 4 ∫ y   d y

∫ y - 4 . 4 y 5   d y = 4 y 2 2 = 2 y 2

Substituindo em ( I I I ) :

x y = y 4 2 y ² + c

x y = 2 y 6 + c . y 4

Com:

0 < y < ∞

Boaaa, foi mais fácil do que parecia né?

Resposta

x y = 2 y 6 + c . y 4

0 < y < ∞

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Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.50. x y ' + y = e x , no qual y 1 = 2 .
Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.42. y ' = 2 y + x e 3 x - e 2 x , no qual y 0 = 2 .
Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.54. c o s 2 x . d y d x + y = 1 , no qual y 0 = - 3 .
Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.53. d y d x = y y - x , no qual y 5 = 2 .
Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.51. x x - 2 y ' + 2 y = 0 , no qual y 3 = 6 .