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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.2 - Ex. 8

Resolva a equação diferencial:

e^(2 x) y^' + 2 e^(2 x) y = 2 x

Passo 1

E aê pessoal? Vamos resolver essa equação diferencial.

Primeiro, Vamos fazer alguns ajustes para ficar parecida com a equação diferencial.

Dividimos por e^(2 x) s, pois o coeficiente de y ' deve ser 1. Beleza?

y^' + 2 y = 2 x . e^(- 2 x)

Agora comprar com a equação diferencial. Beleza?

y^' (x) + p (x) y = f ( x )

Comparando, percebemos que p (x) = 2 ; f (x) = 2 x . e^(- 2 x)

Passo 2

Agora, que identificamos p ( x ) e f ( x ) , vamos encontrar o fator integrante, ok?

Show, o fator integrante é dado por:

u (x) = e^(int p (x) d x) = e^(int 2 d x) = e^(2 x)

Passo 3

Agora, multiplicaremos o fator integrante pela equação dada:

e^(2 x) y^' + 2 e^(2 x) y = 2 x . e^(- 2 x) . e^(2 x)

e^(2 x) y^' + 2 e^(2 x) y = 2 x

Repare que do lado esquerdo da equação equivale a derivado do produto:

(d y)/(d x) (e^(2 x) . y) = 2 x

Passo 4

Beleza, agora é só integrar:

e^(2 x) . y = int 2 x d x

e^(2 x) . y = x^2 + C

y = x^2 . e^(- 2 x) + c . e^(- 2 x)

Resposta

y = x^2 . e^(- 2 x) + c . e^(- 2 x)

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