Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.6 - Ex. 22
Nos problemas 19-24, resolva a equação de Clairaut dada. Obtenha uma solução singular.
22.
Passo 1
Então galera, o que é uma equação de Clairaut para começo de conversa? Uma equação diferencial desse tipo tem o seguinte formato;
Ou, na notação de Leibniz:
Assim a variável fica explícita. O que vamos fazer quando tivermos uma equação de Clairaut é uma substituição do tipo:
E aí todo o resto vai se desenrolar! Vamos ver como isso funciona na prática. Vem comigo!
Passo 2
Nossa equação é:
Ou melhor:
Fazendo , teremos:
Derivando, teremos:
Logo:
Simplificando, teremos:
Show!
Passo 3
Note que chegamos em um produto interessante! Temos duas possibilidades:
Ou:
Para a primeira possibilidade, teremos:
Sendo assim, nossa solução geral será:
Perfeito!
Passo 4
A princípio nosso problema foi resolvido, não é mesmo? No entanto ainda temos a segunda possibilidade. Sendo assim, teremos:
Substituindo a primeira equação na segunda, teremos:
E essa é a solução singular que o enunciado pede!
Resposta
Solução geral:
Solução singular: