28. Uma definição alternativa para a equação de Clairaut é qualquer equação na forma F(y - x * y') , y' = 0 .

a) Mostre que uma família de soluções para a última equação é:

F(y - cx, c) = 0

b) Use o resultado da parte a) para resolver:

((x * y') - y)^3 = (y')^2 + 5

Passo 1

a) Para fazermos essa demonstração vamos considerar que F = F t ,   s , ok? Além disso, sabemos que:

F y - c x ,   c = 0

Utilizando a regra da cadeia para derivar essa função, teremos:

d F d t y - c x ,   c . y ' - c = 0

Desse resultado tiramos que

y ' = c

Sendo assim, temos que:

F y - x y ' ,   c = F y - c y ,   c = 0

Que é a família de equações que queríamos!

Passo 2

b) A equação que nos foi dada é:

x y ' - y 3 = y ' 2 + 5

Podemos escrever dessa forma:

y - x y ' 3 + y ' 2 + 5 = 0

De acordo com a questão a), temos que:

y ' = c

Então a família de equações será:

y - c x 3 + c 2 + 5 = 0

E essa é a nossa resposta!

Resposta

a) Demonstração.

b) y - c x 3 + c 2 + 5 = 0

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