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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.6 - Ex. 24

Nos problemas 19-24, resolva a equação de Clairaut dada. Obtenha uma solução singular.

24. y - x y ' = ln ⁡ y '

Passo 1

Então galera, o que é uma equação de Clairaut para começo de conversa? Uma equação diferencial desse tipo tem o seguinte formato;

y = x y ' + f y '

Ou, na notação de Leibniz:

y = x . d y d x + f d y d x

Assim a variável fica explícita. O que vamos fazer quando tivermos uma equação de Clairaut é uma substituição do tipo:

p = d y d x

E aí todo o resto vai se desenrolar! Vamos ver como isso funciona na prática. Vem comigo!

Passo 2

Nossa equação é:

y - x y ' = ln ⁡ y '

Ou melhor:

y = x . d y d x + ln ⁡ d y d x

Fazendo p = d y d x , teremos:

y = x . p + ln ⁡ p

Derivando isso, teremos:

d y d x = 1 . p + x . d p d x + d p d x p

d y d x = p + x . d p d x + d p d x . 1 p

Logo:

p = p + d p d x x + 1 p

Siplificando, teremos:

d p d x x + 1 p = 0

Show!

Passo 3

Note que chegamos em um produto interessante! Temos duas possibilidades:

d p d x = 0

Ou:

x + 1 p = 0

Para a primeira possibilidade, teremos:

p = ∫ 0 d x

p = c

Sendo assim, nossa solução geral será:

y = x . p + ln ⁡ p

∴ y = c x + ln ⁡ c

Perfeito!

Passo 4

A princípio nosso problema foi resolvido, não é mesmo? No entanto ainda temos a segunda possibilidade. Sendo assim, teremos:

x + 1 p = 0 y = x . p + ln ⁡ p

Substituindo a primeira equação na segunda, teremos:

y = x . - 1 x + ln ⁡ - 1 x

∴ y = ln ⁡ - 1 x - 1

E essa é a solução singular que o enunciado pede!

Resposta

Solução geral: y = c x + ln ⁡ c

Solução singular: y = ln ⁡ - 1 x - 1

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Sem resolver, classifique cada uma das seguintes equações como: separável, homogênea, exata, linear, Bernoulii, Ricatti ou Clairaut. x y y ' + y 2 = 2 x 2 x y y ' + y 2 = 2 x 2 yd x + xd y = 0 x 2 + 2
Sem resolver, classifique cada uma das seguintes equações como: separável, homogênea, exata, linear, Bernoulii, Ricatti ou Clairaut.e) d y d x = y 2 + y x 2 + x f) d y d x = 4 + 5 y + y 2 g) yd x = y
Sem resolver, classifique cada uma das seguintes equações como: separável, homogênea, exata, linear, Bernoulii, Ricatti ou Clairaut. d y d x = 1 y - x c) d y d x 2 + 2 y = 2 x d y d x d y d x = x - y
Sem resolver, classifique cada uma das seguintes equações como: separável, homogênea, exata, linear, Bernoulii, Ricatti ou Clairaut.m) d y d x = x y + y x + 1 n) y x 2 d y d x + e 2 x 3 + y 2 = 0 o) y
Resolva - x y^' + y = (y^' + 1)^2 sujeito a y (0) = 0 .