Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.2 - Ex. 26

Nos problemas 21-30, resolva cada equação diferencial da maneira dos capítulos anteriores e então compare os resultados com as soluções obtidas através de séries de potências y = ∑ n = 0 ∞ x n . x n

( 1 + x ) y ' - 2 y = 0

Passo 1

E aííí parceiro

Bora lá, a gente tem essa equação diferencial

( 1 + x ) y ' - 2 y = 0

Aí temos que resolver essa equação diferencial utilizando as técnicas que já aprendemos até o momento beleza? Vamos lá

Passo 2

Bom, temos

( 1 + x ) y ' - 2 y = 0

Que é uma EDO separável:

d y y = 2 d x 1 + x

Integrando dos dois lados:

∫ 1 y d y = ∫ 2 1 + x d x

ln ⁡ y = 2 l n ⁡ | 1 + x | + c

y = c 1 ( 1 + x ) ²

E encontramos nossa solução :P

Agora vamos lá encontrar a solução utilizando série de potências

Passo 3

Pra começar, vamos substituir nossa equação diferencial em y = ∑ n = 0 ∞ c n . x n , isso nos dá:

1 + x y ' - 2 y = ∑ n = 1 ∞ n . c n . x n - 1 + ∑ n = 1 ∞ n c n . x n - 2 ∑ n = 0 ∞ c n . x n

No primeiro somatório, vamos fazer k = n - 1 e nos outros vamos deixar k = n

1 - x y ' - y = ∑ k = 0 ∞ k + 1 . c k + 1 . x k + ∑ k = 1 ∞ k c k . x k - 2 ∑ k = 0 ∞ c k . x k

Isso é:

1 - x y ' - y = c 1 - 2 c 0 + ∑ k = 1 ∞ [ ( k + 1 ) . c k + 1 + ( k - 2 ) c k ] . x k = 0

Então temos

c 1 - 2 c 0 = 0 → c 1 = 2 c 0

k + 1 . c k + 1 + k - 2 c k = 0 → c k + 1 = - k - 2 k + 1 c k ,   k = 1,2 , 3 …

Dessa forma, encontramos

c 2 = c 0

c 3 = 0

c 4 = 0

Então, nossa solução é

y = c 0 + 2 c 0 x + c 0 x 2

Que pode ser escrito assim:

y = c 0 ( 1 + 2 x + x 2 )

y = c 0 ( 1 + x ) ²

Exatamente o que encontramos no outro método :D

Resposta

y = c 0 ( 1 + x ) ²

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 21-30, resolva cada equação diferencial da maneira dos capítulos anteriores e então compare os resultados com as soluções obtidas através de séries de potências y = ∑ n = 0 ∞ x n . x n y
Nos problemas 1-10, encontre o intervalo de convergência das séries de potências dadas. ∑ k = 1 ∞ x - 7 n n
Nos problemas 11-20, encontre os quatro primeiros termos de uma série de potências em x para a função dada. Calcule a série à mão ou use um SAC como ensinado. e x ln ⁡ ( 1 - x )
Nos problemas 11-20, encontre os quatro primeiros termos de uma série de potências em x para a função dada. Calcule a série à mão ou use um SAC como ensinado. x - x 3 3 + x 5 5 - x 7 7 + … 2
Nos problemas 1-10, encontre o intervalo de convergência das séries de potências dadas. ∑ k = 0 ∞ k ! 2 k x k