Nos problemas 1-10, encontre o intervalo de convergência das séries de potências dadas.

∑ k = 1 ∞ x - 7 n n

Passo 1

Oi, tudo bem?

Então, pra saber o intervalo de convergência da série, a gente calcula o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Que no nosso caso é:

lim n → ∞ ⁡ x - 7 n + 1 n + 1   x - 7 n n =   l i m n → ∞   x - 7 n + 1 n + 1 ⋅ n x - 7 n

=   l i m n → ∞   n | ( x - 7 ) | n + 1 = | x - 7 |

Passo 2

A série converge absolutamente para x - 7 < 1 , ou seja:

( 6,8 )

Agora, para x = 6 , temos a série:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n

Essa série converge pelo teste da série alternada.

Já para x = 8 , temos a série:

∑ n = 1 ∞ 1 n

Que é uma série-p, com p < 1 , então diverge.

Então, temos que a série converge em:

[ 6,8 )

Resposta

[ 6,8 )

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