Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.2 - Ex. 28

Nos problemas 21-30, resolva cada equação diferencial da maneira dos capítulos anteriores e então compare os resultados com as soluções obtidas através de séries de potências y = ∑ n = 0 ∞ x n . x n

y ' ' - y = 0

Passo 1

E aííí parceiro

Bora lá, a gente tem essa equação diferencial

y ' ' - y = 0

Aí temos que resolver essa equação diferencial utilizando as técnicas que já aprendemos até o momento beleza? Vamos lá

Passo 2

Bom, temos

y ' ' - y = 0

Vamos montar a equação auxiliar:

m 2 - 1 = 0

m = ± 1

m = ± 1

Então, nossa solução geral é

y = c 1 e x + c 2 e - x

E encontramos nossa solução :P

Agora vamos lá encontrar a solução utilizando série de potências

Passo 3

Pra começar, vamos substituir nossa equação diferencial em y = ∑ n = 0 ∞ c n . x n , isso nos dá:

y ' ' - y = ∑ n = 2 ∞ n . n - 1 c n . x n - 2 - ∑ n = 0 ∞ c n . x n

No primeiro somatório, vamos fazer k = n - 2   e no outro vamos deixar k = n

y ' ' - y = ∑ k = 0 ∞ ( k + 2 ) ( k + 1 ) . c k + 2 . x k - ∑ k = 0 ∞ c k . x k

Isso é:

y ' ' - y = ∑ k = 0 ∞ [ ( k + 2 ) ( k + 1 ) . c k + 2 - c k ] . x k = 0

Então temos

k + 2 k + 1 . c k + 2 - c k = 0

c k + 2 = c k ( k + 2 ) ( k + 1 ) ,   k = 0,1 , 2 …

Dessa forma, encontramos

c 2 = 1 2 c 0

c 3 = 1 3.2 c 1

c 4 = 1 4 . 3.2 c 0

Então, nossa solução é

y = c 0 + c 1 x + 1 2 c 0 x 2 + 1 3 . 2 c 1 x 3 + 1 4 . 3.2 c 0 x 4 + …

Que pode ser escrito assim:

y = c 0 ∑ n = 0 ∞ x 2 n 2 n ! + c 1 ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 2 n + 1 !

Que é:

y = C 0 . e x + C 1 . e - x

Exatamente o que encontramos no outro método :D

Resposta

y = C 0 . e x + C 1 . e - x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 23 a 28, faça o gráfico de diversas somas parciais da solução em série do problema de valor inicial dado em torno de x = 0, obtendo, assim, gráficos análogos aos ilustrados
Em cada um dos problemas de 23 a 28, faça o gráfico de diversas somas parciais da solução em série do problema de valor inicial dado em torno de x = 0, obtendo, assim, gráficos análogos aos ilustrados
Em cada um dos problemas de 23 a 28, faça o gráfico de diversas somas parciais da solução em série do problema de valor inicial dado em torno de x = 0, obtendo, assim, gráficos análogos aos ilustrados
Em cada um dos problemas de 23 a 28, faça o gráfico de diversas somas parciais da solução em série do problema de valor inicial dado em torno de x = 0, obtendo, assim, gráficos análogos aos ilustrados
Considere o problema de valor inicial y ' = 1 - y 2 ,y 0 = 0 .(a) Mostre que y = sen x é a solução desse problema de valor inicial.(b) Procure uma solução do problema de valor inicial em forma de séri