Nos problemas 21-32, encontre um operador diferencial que anule a função dada

e^(-x) + 2x . e^x - x^2 . e^x

Passo 1

E aíí meu jovem, vamos lá?

Nesse exercício, precisamos encontrar um operador diferencial que vai fazer a nossa função ser anulada, e pra isso vamos usar as regrinhas que vimos nessa seção do seu livro.

Então por exemplo, o operador D ³ anula a função x ² , pois

D 3 x 2 = 0

Então, vamos lá?

Passo 2

Temos a função e - x + 2 x . e x - x 2 . e x

Como temos funções exponenciais, vamos usar a tática (3) dessa seção do seu livro. Ela fala que dada uma função x n - 1 . e α x , o operador diferencial que vai anular é D - α n

No primeiro termo, temos n = 1 e α = - 1 , então o operador que zera o primeiro termo é

D - - 1 1 = D + 1

No segundo termo, temos n = 2 e α = 1 , então o operador que zera o segundo termo é

( D - 1 ) ²

Já no terceiro termo, temos n = 3 e α = 1 , então o operador que zera o terceiro termo é

( D - 1 ) ³

Então, o operador que anula nossa função como um todo é

D + 1 . D - 1 2 . ( D - 1 ) ³

Podemos deixar apenas o D - 1 de maior grau, porque ele consequentemente vai zerar o que seria zerado pelo de menor grau, sacou?

D + 1 . ( D - 1 ) ³

Resposta

D + 1 . ( D - 1 ) ³

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