6. Seja L = D 2 - 2 D + 2 .

a) Provar que as funções f 1 t = e t cos ⁡ t e f 2 t = e t   s e n   t são soluções da equação diferencial L y = 0 .

b) Provar que f 1 t e f 2 t são linearmente independentes.

c) Qual é a solução geral da equação y ' ' - 2 y ' + 2 y = 0 ?

d) Dentre as soluções existe uma, e apenas uma que satisfaz as condições f 0 = 1 e f ' 0 = - 1 . Ache-a.

Passo 1

c) bem... aqui já temos umas colas, né...

já sabemos que e t s e n   t e e t cos ⁡ t estão no núcleo do operador L:

L = D 2 - 2 D + 2

Que a gente pode dividir assim:

L = D 2 - 2 D + 1 + 1

L = D - 1 2 + 1

(olhando a cara do operador já dava pra esperar algo assim, né..., né?)

Passo 2

Então a solução geral vai ser:

g t = α e t cos ⁡ t + β   e t s e n   t

Onde α e β são números reais.

Resposta

g t = α e t cos ⁡ t + β   e t s e n   t

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