5. a) Provar que as funções s e n   t e cos ⁡ t são ambas soluções de y ' ' + y = 0

b) Provar também que s e n   t e cos ⁡ t são linearmente independentes.

c) Achar a solução geral de y ' ' + y = 0

d) Achar todas as soluções da equação y ' ' + y = t .

Passo 1

a) Bom... vamos primeiro passar pra forma de operador:

D 2 + 1 f = 0

Primeiro vamos fazer com f t = s e n   t :

D 2 + 1 s e n   t = 0

D 2 s e n   t + s e n   t = 0

- s e n   t + s e n   t = 0

0 = 0

Passo 2

Agora vamos fazer com f t = cos ⁡ t :

D 2 + 1 cos ⁡ t = 0

D 2 cos ⁡ t + cos ⁡ t = 0

- cos ⁡ t   + cos ⁡ t = 0

0 = 0

Então ambas são soluções.

Resposta

ambas são soluções.

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