Enunciado

5. a) Provar que as funções s e n   t e cos ⁡ t são ambas soluções de y ' ' + y = 0

b) Provar também que s e n   t e cos ⁡ t são linearmente independentes.

c) Achar a solução geral de y ' ' + y = 0

d) Achar todas as soluções da equação y ' ' + y = t .

Passo 1

a) Bom... vamos primeiro passar pra forma de operador:

D 2 + 1 f = 0

Primeiro vamos fazer com f t = s e n   t :

D 2 + 1 s e n   t = 0

D 2 s e n   t + s e n   t = 0

- s e n   t + s e n   t = 0

0 = 0

Passo 2

Agora vamos fazer com f t = cos ⁡ t :

D 2 + 1 cos ⁡ t = 0

D 2 cos ⁡ t + cos ⁡ t = 0

- cos ⁡ t   + cos ⁡ t = 0

0 = 0

Então ambas são soluções.

Resposta

ambas são soluções.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

1. Escrever as equações diferenciais homogêneas determinadas pelos operadores seguintes:a) D ; b) D 2 ; c) D n ; d) D + 1 ;e) D 2 - 3 D + 1 ; f) 3 D 2 - 2 D ; g) D 2 + ω 2 ; h) D - a ; i) D - 1 D + 1
1. Escrever as equações diferenciais homogêneas determinadas pelos operadores seguintes:a) D ; b) D 2 ; c) D n ; d) D + 1 ;e) D 2 - 3 D + 1 ; f) 3 D 2 - 2 D ; g) D 2 + ω 2 ; h) D - a ; i) D - 1 D + 1
1. Escrever as equações diferenciais homogêneas determinadas pelos operadores seguintes:a) D ; b) D 2 ; c) D n ; d) D + 1 ;e) D 2 - 3 D + 1 ; f) 3 D 2 - 2 D ; g) D 2 + ω 2 ; h) D - a ; i) D - 1 D + 1
1. Escrever as equações diferenciais homogêneas determinadas pelos operadores seguintes:a) D ; b) D 2 ; c) D n ; d) D + 1 ;e) D 2 - 3 D + 1 ; f) 3 D 2 - 2 D ; g) D 2 + ω 2 ; h) D - a ; i) D - 1 D + 1
2. Quais os operadores que definem as equações diferenciais seguintes?a) f ' ' = 0 b) 3 f ' ' + 2 f ' + f = 0 c) f n + f n - 1 + … + f ' + f = 0 d) f ' ' = - f e) f ' ' + f = 0