Enunciado

Nos problemas 3-8, escreva na forma 8 a solução para o problema de valor inicial dado.

5. x ' ' + 2 x = 0 ,   x 0 = - 1 ,   x ' 0 = - 2 2

Passo 1

Então pessoal, nessas questões de 3-8 devemos encontrar uma solução geral x t escrita nesse formato aqui ó:

x t = A . s e n ω t + θ

No qual:

A = c 1 + c 2

E θ é um ângulo de fase definido por:

tan ⁡ θ = c 1 c 2

E para resolvermos a equação diferencial propriamente dita devemos apenas encontrar as raízes da equação característica, ou seja, precisamos fazer aquelas típicas substituições x ' ' = m 2 ,   x ' = m   e   x = 1 para encontrarmos as raízes da equação.

Parece muita informação, não é mesmo? Mas fiquem tranquilos, não tem nada de anormal na resolução desses problemas, prometo! Bora começar a resolver esse trem aí para vocês verem que é de boa, saca só!

Passo 2

Nossa equação diferencial é:

x ' ' + 2 x = 0

Fazendo as substituições citadas no passo 1 :

m 2 + 2 = 0

Logo:

m 1 = 2 i

m 2 = - 2 i

Como as raízes são complexas, então nossa solução será do tipo:

x = c 1 cos ⁡ b t + c 2 s e n   b t

No qual b é a constante que acompanha i . Aqui vale ressaltar que todos os problemas terão essa solução, ok? Sendo assim, temos que nossa solução geral será:

x t = c 1 cos ⁡ 2 t + c 2 s e n   2 t

Show!

Passo 3

Agora o que precisamos fazer é encontrar essas constantes c 1 e c 2 , não é mesmo? Para isso vamos utilizar as condições iniciais do problema, que são:

x 0 = - 1 ,   x ' 0 = - 2 2

Aplicando a primeira condição:

- 1 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 s e n   0

c 1 = - 1

Agora aplicando a segunda condição:

x ' t = - 2 c 1 s e n   2 t + 2 c 2 cos ⁡ 2 t

- 2 2 = - 2 c 1 s e n   0 + 2 c 2 cos ⁡ 0

- 2 2 = 2 c 2

c 2 = - 2

Então teremos a seguinte solução:

x t = - c 1 cos ⁡ 2 t - 2 s e n   2 t

Top, top! Agora que encontramos a solução geral vamos escreve-la no outro formato que o enunciado pediu, vem comigo!

Passo 4

O formato é:

x t = A . s e n ω t + θ

Encontrando A :

A = c 1 2 + c 2 2 = 1 + 4 = 5

Agora encontrando θ :

tan ⁡ θ = c 1 c 2 = - 1 - 2 = 1 2

Aqui temos que tomar cuidado com uma coisa, galera! Pela definição de tangente temos:

tan ⁡ θ = s e n   θ cos ⁡ θ

Comparando com a divisão que realizamos para encontrar θ tiramos que s e n   θ < 0 e cos ⁡ θ < 0 . No entanto esse ângulo está no terceiro quadrante e contradiz o fato que acabamos de encontrar. Sendo assim, devemos obter um ângulo θ no primeiro quadrante cuja tangente seja 1 2 . Para isso devemos fazer:

θ = a r c tan ⁡ 1 2 + π

θ = 1,49 + π = 4,63

Portanto nossa solução no formato solicitado será:

x t = 5 . s e n 2 t + 4,63

E essa é a nossa resolução, galera! 😉

Resposta

x t = 5 . s e n 2 t + 4,63

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