Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.1 - Ex. 5
Nos problemas 3-8, escreva na forma a solução para o problema de valor inicial dado.
5.
Passo 1
Então pessoal, nessas questões de 3-8 devemos encontrar uma solução geral escrita nesse formato aqui ó:
No qual:
E é um ângulo de fase definido por:
E para resolvermos a equação diferencial propriamente dita devemos apenas encontrar as raízes da equação característica, ou seja, precisamos fazer aquelas típicas substituições para encontrarmos as raízes da equação.
Parece muita informação, não é mesmo? Mas fiquem tranquilos, não tem nada de anormal na resolução desses problemas, prometo! Bora começar a resolver esse trem aí para vocês verem que é de boa, saca só!
Passo 2
Nossa equação diferencial é:
Fazendo as substituições citadas no passo :
Logo:
Como as raízes são complexas, então nossa solução será do tipo:
No qual é a constante que acompanha . Aqui vale ressaltar que todos os problemas terão essa solução, ok? Sendo assim, temos que nossa solução geral será:
Show!
Passo 3
Agora o que precisamos fazer é encontrar essas constantes e , não é mesmo? Para isso vamos utilizar as condições iniciais do problema, que são:
Aplicando a primeira condição:
Agora aplicando a segunda condição:
Então teremos a seguinte solução:
Top, top! Agora que encontramos a solução geral vamos escreve-la no outro formato que o enunciado pediu, vem comigo!
Passo 4
O formato é:
Encontrando :
Agora encontrando :
Aqui temos que tomar cuidado com uma coisa, galera! Pela definição de tangente temos:
Comparando com a divisão que realizamos para encontrar tiramos que e . No entanto esse ângulo está no terceiro quadrante e contradiz o fato que acabamos de encontrar. Sendo assim, devemos obter um ângulo no primeiro quadrante cuja tangente seja . Para isso devemos fazer:
Portanto nossa solução no formato solicitado será:
E essa é a nossa resolução, galera! 😉