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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 28

Nos problemas 27 e 28, use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições de contorno indicadas.

y ' ' - 9 y ' + 20 y = 1 ,       y 0 = 0 ,     y ' 1 = 0

Passo 1

Bora lá?

Temos a equação diferencial:

y ' ' - 9 y ' + 20 y = 1 ,       y 0 = 0 ,     y ' 1 = 0

Mas não vamos usar aqueles conceitos antigos para resolver essas equações ok? Vamos utilizar a Transformada de Laplace

Então, vamos fazer a transformada de Laplace da nossa equação, isolar o Y ( s ) e aí depois encontramos a transformada inversa, para termos y ( t )

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

y ' ' - 9 y ' + 20 y = 1

s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 ) - 9 s . Y s - y 0 + 20 Y s = 1 s

Sabemos do enunciado que y 0 = 0 . Vamos também chamar y ' 0 = c

s 2 . Y s - s . 0 - c ) - 9 s . Y s - 0 + 20 Y s = 1 s

Y s . s 2 - 9 s + 20 - c = 1 s

Y s . s 2 - 9 s + 20 = 1 s + c

Y s = 1 s . s 2 - 9 s + 20 + c s 2 - 9 s + 20

Y s = 1 s . ( s - 4 ) ( s - 5 ) + c ( s - 4 ) ( s - 5 )

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso ok?

Passo 3

Temos

Y s = 1 s . ( s - 4 ) ( s - 5 ) + c ( s - 4 ) ( s - 5 )

Expandindo em frações parciais, temos

Y s = 1 20 . 1 s - 1 4 . 1 s - 4 + 1 5 . 1 s - 5 - c s - 4 + c s - 5

Fazendo a transformada inversa, de acordo com as informações do passo 1, temos:

y t = 1 20 - 1 4 e 4 t + 1 5 e 5 t - c . e 4 t + c . e 5 t

Agora precisamos aplicar a condição de que y ' 1 = 0 , vamos lá?

Passo 4

Temos

y t = 1 20 - 1 4 e 4 t + 1 5 e 5 t - c . e 4 t + c . e 5 t

Derivando isso, encontramos

y ' t = - 4 4 . e 4 t + 5 5 e 5 t - 4 c . e 4 t + 5 c . e 5 t

y ' t = - e 4 t + e 5 t - 4 c . e 4 t + 5 c . e 5 t

Aplicando a condição y ' 1 = 0 , temos:

y ' 1 = - e 4 . 1 + e 5 . 1 - 4 c . e 4 . 1 + 5 c . e 5 . 1 = 0

- e 4 + e 5 - 4 c . e 4 + 5 c . e 5 = 0

c . ( - 4 e 4 + 5 e 5 ) = e 4 - e 5

c = e 4 - e 5 ( - 4 e 4 + 5 e 5 )

c = e - 1 4 - 5 e

Então, nossa solução é

y t = 1 20 - 1 4 e 4 t + 1 5 e 5 t - e - 1 4 - 5 e . e 4 t + e - 1 4 - 5 e . e 5 t

Resposta

y t = 1 20 - 1 4 e 4 t + 1 5 e 5 t - e - 1 4 - 5 e . e 4 t + e - 1 4 - 5 e . e 5 t

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