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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.Exercícios de Revisão - Ex. 30

Nos problemas 29-36, use a transformada de Laplace para resolver a equação dada

y ' ' - 8 y ' + 20 y = t e t ,     y 0 = 0 ,       y ' 0 = 0

Passo 1

Vamo que vamo

Temos essa equação diferencial:

y ' ' - 8 y ' + 20 y = t e t ,     y 0 = 0 ,       y ' 0 = 0

E para encontrar y ( t ) , vamos usar a transformada de Laplace ta bom, então o passo a passo é: fazer a transformada da equação inteira, isolar Y ( s ) e fazer a transformada inversa do que encontrarmos, fechou?

Ah, só pra lembrar, aqui tem algumas transformadas que podemos utilizar:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

L δ ( t + k ) = e k s

E também pode ser útil a propriedade de translação:

L e α . f t = F ( s - α )

Agora bora lá!

Passo 2

Vamos fazer a transformada da equação:

y ' ' - 8 y ' + 20 y = t e t

s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 ) - 8 ( s . Y s - y ( 0 ) ) + 20 Y s = 1 ( s - 1 ) ²

Sabemos que y 0 = 0 e y ' 0 = 0 :

s 2 . Y s - s . 0 - 0 - 8 ( s . Y s - 0 ) + 20 Y s = 1 ( s - 1 ) ²

Y s . s 2 - 8 s + 20 = 1 ( s - 1 ) ²

Então:

Y s = 1 ( s - 1 ) ² ( s 2 - 8 s + 20 )

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso, beleza?

Passo 3

Temos

Y s = 1 ( s - 1 ) ² ( s 2 - 8 s + 20 )

Que podemos escrever assim:

Y s = 1 ( s - 1 ) ² ( s 2 - 8 s + 16 + 4 )

Y s = 1 ( s - 1 ) ² ( s - 4 2 + 2 ² )

Expandindo em frações parciais, temos:

Y s = 6 169 . 1 s - 1 + 1 13 . 1 ( s - 1 ) ² - 6 169 . s - 4 s - 4 2 + 2 2 + 5 338 . 2 s - 4 2 + 2 ²

Então podemos escrever:

y t = 6 169 e t + 1 13 t . e t - 6 169 e 4 t . cos ⁡ 2 t + 5 338 e 4 t s e n ( 2 t )

Showww, vamos pros próximos!!

Resposta

y t = 6 169 e t + 1 13 t . e t - 6 169 e 4 t . cos ⁡ 2 t + 5 338 e 4 t s e n ( 2 t )

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