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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.Exercícios de Revisão - Ex. 34

Nos problemas 29-36, use a transformada de Laplace para resolver a equação dada

f t = 1 - 2 ∫ 0 t e - 3 τ f t - τ d τ

Passo 1

Vamo que vamo

Temos essa equação:

f t = 1 - 2 ∫ 0 t e - 3 τ f t - τ d τ

E para encontrar f ( t ) , vamos usar a transformada de Laplace ta bom, então o passo a passo é: fazer a transformada da equação inteira, isolar Y ( s ) e fazer a transformada inversa do que encontrarmos, fechou?

Ah, só pra lembrar, aqui tem algumas transformadas que podemos utilizar:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

L δ ( t + k ) = e k s

E também pode ser útil a propriedade de translação:

L e α . f t = F ( s - α )

Agora bora lá!

Passo 2

Vamos fazer a transformada da equação:

f t = 1 - 2 ∫ 0 t e - 3 τ f t - τ d τ

O termo ∫ 0 t e - 3 τ f t - τ d τ representa a convolução de e - 3 t e f t no domínio t , e isso é equivalente à multiplicação no domínio s . Sabendo que a transformada de e - 3 t é 1 s + 3 , temos

F ( s ) = 1 s - 2 1 s + 3 . F s

F s . 1 + 2 s + 3 = 1 s

F s = 1 s . 1 + 2 s + 3

Multiplicando em cima e embaixo por s + 3 :

F s = s + 3 s 2 + 5 s

F s = s + 3 s ( s + 5 )

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso, beleza?

Passo 3

Temos

F s = s + 3 s ( s + 5 )

Expandindo em frações parciais, temos:

Y s = 3 5 . 1 s + 2 5 . 1 s + 5

Então podemos escrever:

y t = 3 5 + 2 5 e - 5 t

Showww, vamos pros próximos!!

Resposta

y t = 3 5 + 2 5 e - 5 t

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