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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 31

Nos problemas 29-38, use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial.

f t = t . e t + ∫ 0 t τ   f t - τ d τ

Passo 1

Bora lá?

Temos a equação:

f t = t . e t + ∫ 0 t τ   f t - τ d τ

E vamos usar a Transformada de Laplace para encontrarmos f ( t ) , beleza?

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

E vamos lembrar também que a convolução ∫ 0 t f t - τ g t d τ no domínio do tempo é a multiplicação no domínio s , certo?

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

f t = t . e t + ∫ 0 t τ   f t - τ d τ

Em ∫ 0 t τ   f t - τ d τ temos a convolução de t com f ( t ) , então podemos escrever como a multiplicação das suas transformadas

F s = 1 ( s - 1 ) ² + 1 s ² . F ( s )

F s . 1 - 1 s ² = 1 ( s - 1 ) ²

F s = 1 ( s - 1 ) ² 1 - 1 s ²

Multiplicando por s ² em cima e embaixo:

F s = s ² ( s - 1 ) ² s ² - 1

Sabemos que s 2 - 1 = s + 1 . ( s - 1 ) :

F s = s ² s - 1 2 s + 1 . ( s - 1 )

F s = s ² s - 1 3 s + 1

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso ok?

Passo 3

Temos

F s = s ² s - 1 3 s + 1

Expandindo em frações parciais, temos:

F s = 1 8 . 1 s - 1 + 3 4 . 1 ( s - 1 ) ² + 1 4 . 2 ( s - 1 ) ³ - 1 8 . 1 s + 1

Fazendo a transformada inversa, de acordo com as informações do passo 1, temos:

f t = 1 8 e t + 3 4 t . e t + 1 4 t 2 . e t - 1 8 e - t

E fimmm

Resposta

f t = 1 8 e t + 3 4 t . e t + 1 4 t 2 . e t - 1 8 e - t

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Nos problemas 3-24, preencha as lacunas ou responda verdadeiro/falso. L t . e - 7 t
Nos problemas 3-24, preencha as lacunas ou responda verdadeiro/falso. L t . s e n ( 2 t )
Nos problemas 3-24, preencha as lacunas ou responda verdadeiro/falso. F s = s 2 s 2 + 4 não é a transformada de Laplace de uma função contínua por partes e de ordem exponencial
Nos problemas 3-24, preencha as lacunas ou responda verdadeiro/falso. L s e n ( 2 t ) u ( t - π )
Nos problemas 3-24, preencha as lacunas ou responda verdadeiro/falso.Se L f t = F ( s ) , então L t . e 8 t f t = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _