Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.1 - Ex. 34
Nos problemas 33-40, verifique que as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial no intervalo indicado. Forme a solução geral.
Passo 1
E aí, tudo beleza?
Bom, pra um conjunto de funções ser um conjunto fundamental de soluções de uma EDO homogênea, elas precisam ser linearmente independentes. E elas tem que satisfazer a equação.
Vamos ver se satisfaz a equação:
Substituindo na EDO:
Então é solução!
Passo 2
Agora vamos ver se é solução...
Substituindo na EDO, temos:
Então também é solução!
Passo 3
Agora só falta ver se as funções são linearmente independentes. Calculando o Wronskiano:
Então vimos que as funções são LI, e, portanto, são um conjunto fundamental de soluções da nossa EDO.
Passo 4
Então agora, de acordo com a definição 4.4, temos que a solução geral é dada por:
E prontinho! Terminamos por aqui 😉
