Nos problemas 11 e 12, encontre uma segunda solução para a equação diferencial se y₁(x) é uma dada solução.

11. y'' + 4y = 0, y1 = cos(2x)

Passo 1

Então galera, para encontrarmos uma segunda solução de uma equação diferencial a partir de uma solução conhecida precisamos utilizar essa fórmula aqui ó:

y 2 = y 1 x ∫ e - ∫ P x d x y 1 2 x d x

No qual P x é o termo que acompanha y ' na equação diferencial, ou seja, se tivermos uma equação diferencial do tipo:

y ' ' + 2 x y ' - 8 y = 4 e x

Teremos que P x será 2 x , sacou? Show! A equação diferencial que nos foi dada é:

y ' ' + 4 y = 0

O que nos dá:

P x = 0

Então bora substituir isso na fórmula!

Passo 2

Substituindo P x = 0 e y 1 = cos ⁡ 2 x na fórmula, teremos:

y 2 = cos ⁡ 2 x ∫ e - ∫ 0 d x c o s 2 2 x d x

Resolvendo a integral do expoente de e , teremos:

∫ 0 d x = 1

y 2 = cos ⁡ 2 x ∫ s e c 2 2 x d x

Show!

Passo 3

Agora resolvendo a segunda integral, teremos:

∫ s e c 2 2 x = 1 2 tan ⁡ 2 x

Então nosso resultado final será:

y 2 = cos ⁡ 2 x . 1 2 tan ⁡ 2 x

y 2 = 1 2 s e n   2 x

E está aí uma segunda solução para nossa equação diferencial, galera! 😉

Resposta

y 2 = 1 2 s e n   2 x

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