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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.1 - Ex. 35

Nos problemas 33-40, verifique que as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial no intervalo indicado. Forme a solução geral.

y ' ' - 2 y ' + 5 y = 0 ;   e x cos ⁡ 2 x , e x sen ⁡ 2 x     ( - ∞ ,   ∞ )

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Bom, pra um conjunto de funções ser um conjunto fundamental de soluções de uma EDO homogênea, elas precisam ser linearmente independentes. E elas precisam satisfazer a equação também.

Vamos ver se y 1 = e x cos ⁡ 2 x   satisfaz a EDO:

y 1 ' = e x cos ⁡ 2 x - 2 e x sen ⁡ 2 x

y 1 ' ' = e x cos ⁡ 2 x - 2 e x sen ⁡ 2 x - 2 e x sen ⁡ 2 x - 4 e x cos ⁡ 2 x

y 1 ' ' =   - 3 e x cos ⁡ 2 x - 4 e x sen ⁡ 2 x

Substituindo na EDO:

y ' ' - 2 y ' + 5 y = 0

- 3 e x cos ⁡ 2 x - 4 e x sen ⁡ 2 x - 2 e x cos ⁡ 2 x - 2 e x sen ⁡ 2 x + 5 e x cos ⁡ 2 x = 0

0 = 0

Então essa função satisfaz a EDO. Vamos ver a outra...

Passo 2

Pra y 2 = e x sen ⁡ 2 x , temos:

y 2 ' = e x sen ⁡ 2 x + 2 e x cos ⁡ 2 x

y 2 ' ' = 4 e x cos ⁡ 2 x - 3 e x sen ⁡ 2 x

Substituindo na EDO:

y ' ' - 2 y ' + 5 y = 0

- 3 e x sen ⁡ 2 x + 4 e x cos ⁡ 2 x - 2 e x cos ⁡ 2 x + 2 e x sen ⁡ 2 x + 5 e x sen ⁡ 2 x = 0

- 2 e x sen ⁡ 2 x + 2   e x cos ⁡ 2 x = 0

0 = 0

Então também é solução!

Passo 3

Agora vamos ver se elas são linearmente independentes. Calculando o Wronskiano:

W =   e x c o s   2 x e x sen ⁡ 2 x e x cos ⁡ 2 x - 2 e x sen ⁡ 2 x e x cos ⁡ 2 x + 2 e x sen ⁡ 2 x

= e 2 x cos 2 ⁡ 2 x + 2 e 2 x cos ⁡ 2 x sen ⁡ 2 x - e 2 x sen ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x + 2 e 2 x sen 2 ⁡ 2 x

= 2 e 2 x ≠ 0

Então vimos que as funções são LI, e, portanto, são um conjunto fundamental de soluções da nossa EDO.

Passo 4

Então agora, de acordo com a definição 4.4, temos que a solução geral é dada por:

y = c 1 e x cos ⁡ 2 x + c 2   e x sen ⁡ 2 x

E prontinho! Terminamos por aqui 😉

Resposta

y = c 1 e x cos ⁡ 2 x + c 2   e x sen ⁡ 2 x

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