Enunciado

Nos problemas 35-40, resolva a equação diferencial dada fazendo a substituição x = e t .

x 2 y ' ' + 9 x y ' - 20 y = 5 x 3

Passo 1

Opa! Como vai?

A gente quer resolver essa EDO aqui:

x 2 y ' ' + 9 x y ' - 20 y = 5 x 3

Fazendo a substituição x = e t :

e 2 t y ' ' + 9 e t y ' - 20 y = 5 e 3 t

Agora precisamos colocar as derivadas de y em função de t também:

d y d x = d y d t ⋅ d t d x = 1 x d y d t = 1 e t d y d t

E daí teremos:

d 2 y d t 2 = 1 e 2 t d 2 y d t 2 - d y d t

Passo 2

Beleza, agora vamos substituir isso na EDO e ver no que dá:

e 2 t y ' ' + 9 e t y ' - 20 y = 5 e 3 t

e 2 t 1 e 2 t d 2 y d t 2 - d y d t + 9 e t 1 e t d y d t - 20 y = 5 e 3 t

d 2 y d t 2 - d y d t + 9 d y d t + 20 y = 5 e 3 t

y ' ' + 8 y ' + 20 y = 5 e 3 t

Nossa equação homogênea associada então é:

y ' ' + 8 y ' + 20 y = 0

Show! Nossa equação auxiliar então é:

m 2 + 8 m + 20 = 0

Passo 3

Agora a gente resolve essa equação e encontra:

m 1 = - 10     e     m 2 = 2

A solução geral então é:

y g = c 1 e - 10 t + c 2 e 2 t

Beleza, vamos pra parte não homogênea agora...

Passo 4

Bom, olhando o que a gente tem do lado direito, vamos chutar uma solução do tipo:

y p = A e - 3 t

Aí a gente vai encontrar esse coeficiente A . Pra isso a gente tem que substituir na EDO. Vamos descobrir as derivadas:

y p ' = - 3 A e - 3 t

y p ' ' = 9 A e - 3 t

Substituindo:

y ' ' + 8 y ' - 20 y = 5 e 3 t

9 A e - 3 t - 24 A e - 3 t - 20 A e - 3 t = 5 e - 3 t

- 35 A e - 3 t = 5 e - 3 t

Daí a gente tira que:

A = - 1 7

y p = - 1 7 e - 3 t

Passo 5

Nossa solução então é:

y = y g + y p

y = c 1 e - 10 t + c 2 e 2 t - 1 7 e - 3 t

E como x = e t , temos t = ln ⁡ x . E a nossa solução é:

y = c 1 x - 10 + c 2 x 2 - 1 7 x - 3

e... acabamos!

Resposta

y = c 1 x - 10 + c 2 x 2 - 1 7 x - 3

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