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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 6

Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

d y d x = y + e x

Passo 1

Bom galera vamos lá matar mais um exercício

Temos aqui uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita no formato d y d x + A x . y = B ( x ) , olha:

d y d x = y + e x

d y d x - y = e x     ( I )

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

y x = 1 I x ∫ I x . B x   d x + c     ( I I )

Onde I x = e ∫ A x   d x

Na nossa equação ( I ) , temos A x = - 1 e B x = e x então:

I x = e ∫ - 1   d x

I x = e - x

Belezinha, já temos o nosso fator de integração

Passo 2

Agora que temos o fator de integração, vamos substituir o que temos na expressão ( I I ) :

y x = 1 e - x ∫ e - x . e x   d x + c     ( I I I )

Vamos resolver a integral separadamente, temos

∫ e - x . e x   d x = ∫ e x - x   d x

Então:

∫ e - x . e x   d x = x

Substituindo em ( I I I ) :

y x = 1 e - x x + c

y x = x . e x + c . e x

Sendo que não temos restrição nenhuma em x :

- ∞ < x < ∞

Boaaa, foi mais fácil do que parecia né?

Resposta

y x = x . e x + c . e x

- ∞ < x < ∞

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