Enunciado

Nos problemas 41-44, verifique que a dada família a dois parâmetros de funções é a solução geral para a equação diferencial não homogênea no intervalo indicado.

y ' ' + y = s e c   x

y = c 1 cos ⁡ x + c 2 sen ⁡ x + x sen ⁡ x + ( cos ⁡ x ) ln ⁡ cos ⁡ x ,     - π 2 , π 2

Passo 1

E aí, tudo bem?

Olha só, olhando pra essa função aqui:

y = c 1 cos ⁡ x + c 2 sen ⁡ x + x sen ⁡ x + ( cos ⁡ x ) ln ⁡ cos ⁡ x  

A gente tem que verificar que cos ⁡ x   e sen ⁡ x são um conjunto fundamental de soluções e que cos ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x é uma solução particular.

Vamos ver isso então...

(Tivemos que mudar um sinal na EDO, pois da forma que estava, não seria possível resolver...)

Passo 2

Bom, pra um conjunto de funções ser um conjunto fundamental de soluções de uma EDO homogênea, elas precisam ser linearmente independentes. E precisam satisfazer a EDO em questão.

Vamos ver primeiro se elas satisfazem a EDO...

Para y 1 = cos ⁡ x , temos:

y 1 ' = - sen ⁡ x

y 1 ' ' =   - cos ⁡ x

Substituindo na EDO homogênea associada:

y ' ' + y = 0

- cos ⁡ x + cos ⁡ x = 0

0 = 0

Então ela satisfaz a equação. Vamos ver a outra...

Passo 3

Para y 2 = sen ⁡ x , temos:

y 2 ' = cos ⁡ x

y 2 ' ' = - sen ⁡ x

Substituindo na EDO homogênea associada:

y ' ' + y = 0

- sen ⁡ x + sen ⁡ x = 0

0 = 0

Então vimos que também é solução! 😉

Passo 4

Agora vamos ver se elas são linearmente independentes. Calculando o Wronskiano:

W = cos ⁡ x sen ⁡ x - sen ⁡ x cos ⁡ x

= cos 2 ⁡ x + sen 2 ⁡ x

= 1 ≠ 0

Então vimos que as funções são LI, e, portanto, são um conjunto fundamental de soluções da nossa EDO.

Passo 5

Agora temos que ver se x sen ⁡ x + ( cos ⁡ x ) ln ⁡ cos ⁡ x é uma solução particular. Vamos ver:

y p = x sen ⁡ x + cos ⁡ x ln ⁡ ( cos ⁡ x )

y p ' = sen ⁡ x + x cos ⁡ x - sen ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x + cos ⁡ x 1 cos ⁡ x ⋅ - sen ⁡ x

y p ' = sen ⁡ x + x cos ⁡ x - sen ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x - sen ⁡ x

y p ' = x cos ⁡ x - sen ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x

y p ' ' = cos ⁡ x - x sen ⁡ x - cos ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ x 1 cos ⁡ x ⋅ sen ⁡ x

y p ' ' = cos ⁡ x - x sen ⁡ x - cos ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x + tg ⁡ x sen ⁡ x

Substituindo...

y ' ' + y = s e c   x

cos ⁡ x - x sen ⁡ x - cos ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x + tg ⁡ x sen ⁡ x + x sen ⁡ x + cos ⁡ x ln ⁡ ( cos ⁡ x ) =   s e c   x

cos ⁡ x + tg ⁡ x sen ⁡ x = s e c   x

cos ⁡ x + sen ⁡ x cos ⁡ x ⋅ sen ⁡ x = s e c   x

cos 2 ⁡ x + sen 2 ⁡ x cos ⁡ x = s e c   x

1 cos ⁡ x = s e c   x

s e c   x = s e c   x

Então, é uma solução particular sim!

Sendo assim, verificamos que a família

y = c 1 cos ⁡ x + c 2 sen ⁡ x + x sen ⁡ x + ( cos ⁡ x ) ln ⁡ cos ⁡ x  

é solução para a EDO! 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Responda aos problemas 1-10 sem consultar o texto. Preencha os espaços ou responda verdadeiro/falso. Em alguns casos, pode haver mais de uma resposta correta.7. Um múltiplo de uma solução para uma equ
Um conjunto fundamental de duas soluções para x - 2 y ' ' + y = 0 existe em qualquer intervalo que não contenha o ponto __________.
Nos problemas 13-18, encontre a solução geral para cada equação diferencial.14. 2 y ' ' + 2 y ' + 3 y = 0
Nos problemas 13-18, encontre a solução geral para cada equação diferencial.13. y ' ' - 2 y ' - 2 y = 0
Nos problemas 13-18, encontre a solução geral para cada equação diferencial.17. 3 y ' ' ' + 10 y ' ' + 15 y ' + 4 y = 0