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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.1 - Ex. 44

Nos problemas 41-44, verifique que a dada família a dois parâmetros de funções é a solução geral para a equação diferencial não homogênea no intervalo indicado.

2 x 2 y ' ' + 5 x y ' + y = x 2 - x

y = c 1 x - 1 2 + c 2 x - 1 + 1 15 x 2 - 1 6 x ,     0 ,   ∞

Passo 1

E aí, tudo bem?

Olha só, olhando pra essa função aqui:

y = c 1 x - 1 2 + c 2 x - 1 + 1 15 x 2 - 1 6 x

A gente tem que verificar que x - 1 2   e   x - 1 são um conjunto fundamental de soluções e que 1 15 x 2 - 1 6 x é uma solução particular.

Vamos ver isso então...

Passo 2

Bom, pra um conjunto de funções ser um conjunto fundamental de soluções de uma EDO homogênea, elas precisam ser linearmente independentes. E precisam satisfazer a EDO em questão.

Vamos ver primeiro se elas satisfazem a EDO...

Para y 1 = x - 1 2 , temos:

y 1 ' = - 1 2 x - 3 2

y 1 ' ' = 3 4 x - 5 2  

Substituindo na EDO homogênea associada:

2 x 2 y ' ' + 5 x y ' + y = 0

2 x 2 3 4 x - 5 2 + 5 x - 1 2 x - 3 2 + x - 1 2 = 0

3 2 x - 1 2 - 5 2 x - 1 2 + x - 1 2 = 0

0 = 0

Então ela satisfaz a equação. Vamos ver a outra...

Passo 3

Para y 2 = x - 1 , temos:

y 2 ' = - x - 2

y 2 ' ' = 2 x - 3

Substituindo na EDO homogênea associada:

2 x 2 y ' ' + 5 x y ' + y

2 x 2 2 x - 3 + 5 x - x - 2 + x - 1 = 0

4 x - 1 - 5 x - 1 + x - 1 = 0

0 = 0

Então vimos que também é solução! 😉

Passo 4

Agora vamos ver se elas são linearmente independentes. Calculando o Wronskiano:

W = x - 1 2 x - 1 - 1 2 x - 3 2 - x - 2

=   - x - 5 2 + 1 2 x - 5 2

= - 1 2 x - 5 2 ≠ 0

Então vimos que as funções são LI, e, portanto, são um conjunto fundamental de soluções da nossa EDO.

Passo 5

Agora temos que ver se x 2 e 2 x + x - 2 é uma solução particular. Vamos ver:

y p = 1 15 x 2 - 1 6 x

y p ' = 2 15 x - 1 6

y p ' ' = 2 15

Substituindo...

2 x 2 y ' ' + 5 x y ' + y = x 2 - x

2 x 2 2 15 + 5 x 2 15 x - 1 6 + 1 15 x 2 - 1 6 x = x 2 - x

4 x 2 15 + 2 x 2 3 - 5 6 x + 1 15 x 2 - 1 6 x = x 2 - x

x 2 - x = x 2 - x

Então, é uma solução particular sim!

Sendo assim, verificamos que a família

y = c 1 x - 1 2 + c 2 x - 1 + 1 15 x 2 - 1 6 x      

é solução para a EDO! 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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