Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.3 - Ex. 55
Nos Problemas 53-56, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições de contorno indicadas.
55.
Passo 1
Então pessoal, o formato das equações diferenciais dessa seção é o seguinte:
O que precisamos fazer é uma substituição aonde , ou seja, trocamos a ordem da derivada por expoentes e encontramos as raízes da nossa função característica, que é uma função que depende de . Uma vez que encontramos as raízes teremos três resultados possíveis, assim como demonstrado e discutido na seção em questão.
Vamos colocar essa discussão em prática para vermos como funciona isso. Vem comigo!
Passo 2
A equação que nos foi dada é:
Fazendo as substituições, teremos:
Aplicando Bháskara:
Então encontramos que:
Como as raízes são complexas teremos a seguinte solução:
Substituindo as raízes, teremos:
Shooow!
Passo 3
Isso por si só já é um resultado pra gente, no entanto o enunciado nos dá condições de contorno, ou seja, pontos ordenados para descobrirmos quanto as constantes valem! As condições são:
Derivando nossa solução, teremos:
Aplicando a primeira condição, teremos:
Substituindo esse valor na solução e aplicando a segunda condição, teremos:
Dessa forma, temos que a solução do nosso problema para as condições dadas é a seguinte:
E é isso, galera!