Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.7 - Ex. 45
Um projétil é disparado verticalmente para cima com uma velocidade inicial de , do alto de uma torre com de altura.
(a)Quanto tempo irá levar para ele atingir a altura máxima?
(b)Qual é a altura máxima?
(c)Quanto tempo o projétil irá levar para passar pelo ponto de partida na descida?
(d)Qual será a velocidade quando ele passar pelo ponto de partida na descida?
(e)Quanto tempo o projétil irá levar para atingir o solo?
(f) Qual será a sua velocidade no impacto?
Passo 1
(a)Considerando pra todos os itens a aceleração da gravidade sendo , pra determinarmos quanto tempo o projétil leva para ele atingir a altura máxima, podemos usar a equação horária da velocidade:
Temos que na altura máxima, a velocidade final, , é nula. Assim:
Passo 2
(b)Já sabendo o tempo que se leva pra atingir a altura máxima, podemos utilizar a equação horária da posição, que contém todos os dados que já temos pra fazer essa determinação. Temos a equação:
Vamos ter:
Passo 3
(c)Aqui também usamos a equação horária da posição, que contempla a incógnita que queremos determinar e possui todos os outro dados que já temos.
Se o projétil partiu de uma altura de , atingiu altura máxima em . Esse entã é nosso valor pra . Pra temos , que foi o ponto de partida da subida do projétil. Teremos:
Isso também podia ser verificado pela seguinte lógica: se o projétil levou pra atingir a altura máxima, a partir do ponto de lançamento, ele obrigatoriamente vai ter de levar pra retornar à altura de lançamento, quando começar a cair.
Passo 4
(d)Utilizamos a equação horária da velocidade pra determinar isso, em que a velocidade inicial será zero, pois é o ponto de iminência da queda do projétil.
O tempo até o ponto de partida, já calculado, é de . Teremos:
Por uma lógica semelhante à proposta no item anterior, se a velocidade inicial do projétil no ponto de partida, ao subir, era de , a velocidade que ele vai ter quando cair e passar exatamente pelo ponto de onde partiu precisa ser exatamente a mesma!
Passo 5
(e)Considerando que o projétil partiu de uma altura de e, ao ser lançado, atingiu a altura máxima em , usamos este valor como o ponto em que ele começa a cair, até atingir o patamar , ou seja, o solo.
Pra isso, usamos a equação horária da posição. Teremos:
Passo 6
(f)Pra isso usamos a equação horária da velocidade, onde a velocidade final é nossa incógnita.
Considerando a velocidade inicial iguala zero, momento do início da queda, e o tempo pro impacto ocorrer de , temos que a velocidade no impacto será:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)