Enunciado

Em cada um dos problemas de 47 a 49, use o resultado do Problema 46 para encontrar a adjunta da equação diferencial dada.

1 - x 2 y ' ' - 2 x y ' + α ( α + 1 ) y = 0

Passo 1

Para resolvermos, vamos aplicar o método encontrado no exercício anterior, no qual a equação adjunta precisa satisfazer a seguinte equação:

P μ ' ' + 2 P ' - Q μ ' + P ' ' - Q ' + R μ = 0

Após vermos se a condição é satisfeita, iremos montar nossa equação adjunta.

Passo 2

Bom, vamos lá! Como já dito no passo 1, vamos encontrar os coeficientes. Temos que nossa equação já está na forma perfeita para destacarmos os coeficientes. Ficamos com

P x = 1 - x 2

Q x = - 2 x

R x = α α + 1

Se manipularmos cada termo individualmente, vamos ter que

2 P ' - Q = - 4 x + 2 x = - 2 x

P ' ' - Q ' + R = - 2 + 2 + α α + 1 = α α + 1

E isso obrigatoriamente deve ser igual a zero. Como sempre irá existir um μ para que essa relação seja satisfeita, temos que essa equação adjunta existe e é dada por

1 - x 2 μ ' ' - 2 x ⋅ μ ' + α α + 1 μ = 0

Resposta

1 - x 2 μ ' ' - 2 x ⋅ μ ' + α α + 1 μ = 0

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