Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 91
Prove que . (Sugestão: use a indução matemática e as fórmulas ou após a derivação.)
Passo 1
O exercício pede para mostrarmos que e dá como sugestão usarmos o princípio da indução finita (PIF). Para isso, precisamos provar que
- A relação vale para .
- Se ela valer para , então ela valerá para .
Uma forma de pensar nisso é como se vários dominós estivessem enfileirados: quando um cai, o seguinte derrubando o próximo, e assim por diante. A etapa (ii) prova exatamente isso: se um cai, o seguinte cai também, enquanto a etapa (i) garante que o primeiro cai. Assim, juntando ambas, temos que o primeiro cai e derruba o segundo, que por sua vez derruba o terceiro e assim por diante...
Quando provamos uma relação matemática por indução, na prática é isso que estamos fazendo!
Passo 2
Vamos provar primeiro (i). É fácil ver que
Agora, no enunciado foi dado que . Assim,
Vemos assim que a expressão vale para .
Passo 3
Agora vamos provar a parte (ii). Para isso, vamos supor que a relação vale para , isto é,
Derivando essa expressão, temos que
Por outro lado, sabemos que (troquei por para a visualização ficar mais fácil). Desta forma, chamando , temos
Portanto,
Vemos assim que se a expressão vale para , então ela valerá para . Como ela é válida para , por indução provamos que ela vale para qualquer natural .
Resposta
Demonstração.