Se existir, prove que
Passo 1
O exercício pede para mostrarmos que
sabendo que é derivável em . Note que o que queremos mostrar é muito parecido com a regra do produto para a derivação. Assim, vamos tentar proceder da mesma forma que se faz para demonstrar essa regra: no numerador, vamos somar e subtrair o termo :
Assim, podemos fazer duas fatorações:
Passo 2
Desta forma, temos que
Pela regra da soma dos limites:
Como é um número fixo, o primeiro limite dá simplesmente . No segundo limite, podemos tirar para fora pois ele também é uma constante:
Passo 3
Por fim, como é derivável em , temos que
Assim,
Resposta
Demonstração.
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Suponha f derivável em [a, b] e tal que f'(a) * f'(b)0 . Prove que existe p em ]a, b[ tal que f(x) ≤ f(p) para todo x em [a, b] ou f(x) ≥ f(p) para todo x em [a, b] . Interprete geometricamente.
Suponha f derivável em [a, b] tal que f'(a) * f'(b)0 e f(a) = f(b) . Prove que existem x1, x2 ∈ ]a, b[ tais que, para todo x em ] a, b [ , f(x_1) ≤ f(x) ≤ f(x_2) . Interprete geometricamente.
Dada f ( x ) = x 2 + 2s ex ≤ 3 20 - x 2s ex3 (a) Faça um esboço do gráfico de f. (b) Determine se f é contínua em 3. (c) determine se f é derivável em 3.
O teorema do resto em Álgebra Elementar afirma que, se P(x) é um polinômio em x e r é um número real qualquer, então existe um polinômio Q(x), tal que P x = Q x x - r + P r . Qual é o lim x → r Q (
Dada f(x) = x^2 * sen(x) . (a) Onde f é derivável? (b) f ’ é contínua em seu domínio?