Se existir, prove que
Passo 1
O exercício pede para mostrarmos que
sabendo que é derivável em . Note que o que queremos mostrar é muito parecido com a regra do produto para a derivação. Assim, vamos tentar proceder da mesma forma que se faz para demonstrar essa regra: no numerador, vamos somar e subtrair o termo :
Assim, podemos fazer duas fatorações:
Passo 2
Desta forma, temos que
Pela regra da soma dos limites:
Como é um número fixo, o primeiro limite dá simplesmente . No segundo limite, podemos tirar para fora pois ele também é uma constante:
Passo 3
Por fim, como é derivável em , temos que
Assim,
Resposta
Demonstração.