Se f'(x1) existir, prove que

lim x → x 1 ⁡ x f x 1 - x 1 f ( x ) x - x 1 = f x 1 - x 1 f ' ( x 1 )

Passo 1

O exercício pede para mostrarmos que

lim x → x 1 ⁡ x f x 1 - x 1 f ( x ) x - x 1 = f x 1 - x 1 f ' x 1 ,

sabendo que f é derivável em x = x 1 . Note que o que queremos mostrar é muito parecido com a regra do produto para a derivação. Assim, vamos tentar proceder da mesma forma que se faz para demonstrar essa regra: no numerador, vamos somar e subtrair o termo x 1 f ( x 1 ) :

lim x → x 1 ⁡ x f x 1 - x 1 f ( x ) x - x 1 = lim x → x 1 ⁡ x f x 1 - x 1 f x 1 + x 1 f x 1 - x 1 f ( x ) x - x 1

Assim, podemos fazer duas fatorações:

lim x → x 1 ⁡ x f x 1 - x 1 f ( x ) x - x 1 = lim x → x 1 ⁡ f x 1   x - x 1 - x 1   f x - f x 1 x - x 1

Passo 2

Desta forma, temos que

lim x → x 1 ⁡ x f x 1 - x 1 f ( x ) x - x 1 = lim x → x 1 ⁡ f x 1 - x 1 f x - f ( x 1 ) x - x 1

Pela regra da soma dos limites:

lim x → x 1 ⁡ x f x 1 - x 1 f ( x ) x - x 1 = lim x → x 1 ⁡ f ( x 1 ) - lim x → x 1 ⁡ x 1 f x - f ( x 1 ) x - x 1

Como f ( x 1 ) é um número fixo, o primeiro limite dá simplesmente f ( x 1 ) . No segundo limite, podemos tirar x 1 para fora pois ele também é uma constante:

lim x → x 1 ⁡ x f x 1 - x 1 f ( x ) x - x 1 = f x 1 - x 1 ⋅ lim x → x 1 ⁡ f x - f ( x 1 ) x - x 1

Passo 3

Por fim, como f é derivável em x = x 1 , temos que

lim x → x 1 ⁡ f x - f ( x 1 ) x - x 1 = f ' ( x 1 )

Assim,

lim x → x 1 ⁡ x f x 1 - x 1 f ( x ) x - x 1 = f x 1 - x 1 f ' ( x 1 )

Resposta

Demonstração.

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