Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 87
Se existir, prove que
Passo 1
O exercício pede para mostrarmos que
sabendo que é derivável em . Note que o que queremos mostrar é muito parecido com a regra do produto para a derivação. Assim, vamos tentar proceder da mesma forma que se faz para demonstrar essa regra: no numerador, vamos somar e subtrair o termo :
Assim, podemos fazer duas fatorações:
Passo 2
Desta forma, temos que
Pela regra da soma dos limites:
Como é um número fixo, o primeiro limite dá simplesmente . No segundo limite, podemos tirar para fora pois ele também é uma constante:
Passo 3
Por fim, como é derivável em , temos que
Assim,
Resposta
Demonstração.
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Suponha f derivável em a ,b e tal que f ' a ∙ f ' b0 . Prove que existe p em ] a ,b [ tal que f x ≤ f p para todo x em a ,b ou f x ≥ f p para todo x em a ,b . Interprete geometricamente.
Suponha f derivável em a ,b tal que f ' a ∙ f ' b0 e f a = f b . Prove que existem x 1 ,x 2 ∈] a ,b [ tais que, para todo x em ] a ,b [ , f x 1 ≤ f x ≤ f x 2 . Interprete geometricamente.
Dada f ( x ) = x 2 + 2s ex ≤ 3 20 - x 2s ex3 (a) Faça um esboço do gráfico de f. (b) Determine se f é contínua em 3. (c) determine se f é derivável em 3.
O teorema do resto em Álgebra Elementar afirma que, se P(x) é um polinômio em x e r é um número real qualquer, então existe um polinômio Q(x), tal que P x = Q x x - r + P r . Qual é o lim x → r Q (
Dada f x = x 2 s g n x . (a) Onde f é derivável? (b) f ’ é contínua em seu domínio?