Se duas funções, f e g forem deriváveis num número x₁ , a função composta f ∘ g será, necessariamente, derivável em x_1 ? Se sua resposta for afirmativa, prove-a. Se a resposta for negativa, dê um contra exemplo.

Passo 1

A questão pede para respondermos uma pergunta: se f e g são deriváveis em x = x 1 , então a composta será necessariamente derivável nesse ponto? A resposta para essa pergunta é não!

Para que possamos aplicar a regra da cadeia e garantir que f g x seja derivável em x = x 1 , devemos ter que g seja derivável em x 1 e f seja derivável em g x 1 , não em x 1 . Sendo assim, se f e g forem ambas deriváveis em x 1 mas f não o for em g ( x 1 ) não podemos aplicar a regra da cadeia e a composta f ∘ g pode ou não ser derivável em x 1 . Devemos agora dar um exemplo de um caso em que a composta não é derivável!

Passo 2

Sabemos que f x = x não é derivável para x = 0 . Então vamos escolher g x = x - 1 . Note que em x = 1 , tanto f como g são deriváveis, mas será que a composta h x = f g x é?

h x = f g x = g x = | x - 1 |

Passo 3

Para verificarmos se h é derivável em x = 1 , tomemos o limite

lim x → 1 ⁡ h x - h ( 1 ) x - 1 = lim x → 1 ⁡ | x - 1 | x - 1

Vamos fazer a mudança de variável x - 1 = t :

lim x → 1 ⁡ | x - 1 | x - 1 = lim t → 0 ⁡ t t

Sabemos que esse limite não existe pois os limites laterais dão ± 1 . Assim, vemos que apesar de f e g serem deriváveis em x = 1 , a composta h x = ( f ∘ g ) ( x ) não é!

Resposta

Não. Contraexemplo: f x = | x | , g x = x - 1 em x = 1 .

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