Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 89
Se duas funções, e forem deriváveis num número , a função composta será, necessariamente, derivável em ? Se sua resposta for afirmativa, prove-a. Se a resposta for negativa, dê um contra exemplo.
Passo 1
A questão pede para respondermos uma pergunta: se e são deriváveis em , então a composta será necessariamente derivável nesse ponto? A resposta para essa pergunta é não!
Para que possamos aplicar a regra da cadeia e garantir que seja derivável em , devemos ter que seja derivável em e seja derivável em , não em . Sendo assim, se e forem ambas deriváveis em mas não o for em não podemos aplicar a regra da cadeia e a composta pode ou não ser derivável em . Devemos agora dar um exemplo de um caso em que a composta não é derivável!
Passo 2
Sabemos que não é derivável para . Então vamos escolher . Note que em , tanto como são deriváveis, mas será que a composta é?
Passo 3
Para verificarmos se é derivável em , tomemos o limite
Vamos fazer a mudança de variável :
Sabemos que esse limite não existe pois os limites laterais dão . Assim, vemos que apesar de e serem deriváveis em , a composta não é!
Resposta
Não. Contraexemplo: , em .