Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 88
Sejam e funções cujos domínios são o conjunto de todos os números reais. Além disso, suponha que (i) ; (ii) para todo e ; (iii) . Prove que .
Passo 1
A questão nos dá três propriedades sobre as funções e e pede para mostrarmos que . Assim, me parece razoável começar a resolver esse problema com a definição de derivada para :
A propriedade (ii) nos diz que , de modo que . Assim,
Como não depende de , ele pode sair do limite:
Passo 2
O próximo passo é usar a propriedade (i) que diz que , de modo que . Portanto:
Passo 3
Por fim, vamos usar a propriedade (iii): . Portanto, , de modo que
Resposta
Demonstração.
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Seja f x =x 2 s e x ≤ 0 - x 2s e x0 a) f é derivável em 0 ? Justifique.b) f é contínua em 0 ? Justifique.
Suponha f definida em R , derivável em 0 e f 0 = 0 . Prove que existe g definida em R , contínua em 0 , tal que f x = xg x para todo x .
Seja f : R → R uma função tal que quaisquer que sejam x e t f x - f t ≤ x - t 2 Calcule f ' x .
Sejam f e g definidas em R , com g contínua em 0 , e tais que, para todo x , f x = xg x . Mostre que f é derivável em 0 .
Suponha f derivável no intervalo I . Prove que se f for estritamente crescente em I , então f ' x ≥ 0 em I .