Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 88
Sejam e funções cujos domínios são o conjunto de todos os números reais. Além disso, suponha que (i) ; (ii) para todo e ; (iii) . Prove que .
Passo 1
A questão nos dá três propriedades sobre as funções e e pede para mostrarmos que . Assim, me parece razoável começar a resolver esse problema com a definição de derivada para :
A propriedade (ii) nos diz que , de modo que . Assim,
Como não depende de , ele pode sair do limite:
Passo 2
O próximo passo é usar a propriedade (i) que diz que , de modo que . Portanto:
Passo 3
Por fim, vamos usar a propriedade (iii): . Portanto, , de modo que
Resposta
Demonstração.
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Lembre-se de que uma função f é chamada par se f - x = f ( x ) para todo x em seu domínio, e ímpar se f - x = - f ( x ) para cada um destes x . Demonstre cada uma das afirmativas a seguirA derivada de
Seja f x = - x + 3 s e x3 x - 3s e x ≥ 3 a) f é derivável em 3 ? Justifique.b) f é contínua em 3 ? Justifique.
Seja f x = x + 1 s e x2 1 s e x ≥ 2 a) f é contínua em 2 ? Por quê?b) f é derivável em 2 ? Por quê?
Seja f x =x 2 s e x ≤ 0 - x 2s e x0 a) f é derivável em 0 ? Justifique.b) f é contínua em 0 ? Justifique.
Suponha f definida em R , derivável em 0 e f 0 = 0 . Prove que existe g definida em R , contínua em 0 , tal que f x = xg x para todo x .