Sejam f e g funções cujos domínios são o conjunto de todos os números reais. Além disso, suponha que (i) g x = x f x + 1 ; (ii) g a + b = g a ⋅ g ( b ) para todo a e b ; (iii) lim x → 0 ⁡ f ( x ) = 1 . Prove que g ' x = g x .

Passo 1

A questão nos dá três propriedades sobre as funções f e g e pede para mostrarmos que g ' x = g ( x ) . Assim, me parece razoável começar a resolver esse problema com a definição de derivada para g :

g ' x = lim h → 0 ⁡ g x + h - g ( x ) h

A propriedade (ii) nos diz que g a + b = g a g ( b ) , de modo que g x + h = g x g ( h ) . Assim,

g ' x = lim h → 0 ⁡ g x g h - g ( x ) h = lim h → 0 ⁡ g x   g h - 1 h

Como g ( x ) não depende de h , ele pode sair do limite:

g ' x = g x ⋅ lim h → 0 ⁡ g h - 1 h

Passo 2

O próximo passo é usar a propriedade (i) que diz que g x = x f x + 1 , de modo que g h = h f h + 1 . Portanto:

g ' x = g x ⋅ lim h → 0 ⁡ h   f h + 1 - 1 h = g x ⋅ lim h → 0 ⁡ h   f h h = g x ⋅ lim h → 0 ⁡ f ( h )

Passo 3

Por fim, vamos usar a propriedade (iii): lim x → 0 ⁡ f ( x ) = 1 . Portanto, lim h → 0 ⁡ f ( h ) = 1 , de modo que

g ' x = g x ⋅ 1 = g ( x )

Resposta

Demonstração.

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