Sejam e funções cujos domínios são o conjunto de todos os números reais. Além disso, suponha que (i) ; (ii) para todo e ; (iii) . Prove que .
Passo 1
A questão nos dá três propriedades sobre as funções e e pede para mostrarmos que . Assim, me parece razoável começar a resolver esse problema com a definição de derivada para :
A propriedade (ii) nos diz que , de modo que . Assim,
Como não depende de , ele pode sair do limite:
Passo 2
O próximo passo é usar a propriedade (i) que diz que , de modo que . Portanto:
Passo 3
Por fim, vamos usar a propriedade (iii): . Portanto, , de modo que
Resposta
Demonstração.