Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 84
Dê um exemplo de duas funções e para as quais é derivável em , não é derivável em e é derivável em .
Passo 1
Essa é mais uma questão para acabar com alguns mitos da regra da cadeia! Não é porque não existe que não vai existir. Se , não podemos aplicar a regra da cadeia para achar , porém não é possível saber à priori se essa derivada existe ou não. A questão pede justamente para darmos um exemplo que a derivada da composta existe, mesmo que não seja derivável!
Precisamos então achar uma função derivável em e uma função que não seja derivável nesse ponto, de modo que admita derivada. Vamos começar primeiro por e depois tentar achar uma que torne derivável.
Uma função que todos conhecemos que não é derivável em é a raiz quadrada, então vamos tentar
Passo 2
Bom, com , devemos achar derivável em para que seja derivável em . Para isso, vamos fazer a seguinte pergunta: por que não é derivável em ? Ora, a resposta para essa pergunta é simples: toda função do tipo , com racional, não é derivável se . Assim, o que devemos fazer para tornar a composta derivável é escolher uma que aplicada em seja uma função potência com expoente maior que . Isso é muito fácil: resolve nosso problema!
Portanto, , de modo que . Desta forma, vemos que a escolha e torna derivável na origem!