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Exercícios de Diferenciabilidade - Lista de Exercícios Resolvida

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Questão 1

No exercício, cada figura mostra o gráfico de uma função em um intervalo fechado D . Em que pontos do domínio a função parece ser

a derivável?

b contínua, mas não derivável?

c nem contínua nem derivável?

Justifique sua resposta.

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Questão 2

Considere a função definida por:

f x = x 2 - 3 x + a s e   x < 5 2 s e   x = 5 x 2 - 6 x + 5 x - 5 + b s e   x > 5

a Dê um exemplo de valores para a e b tal que exista lim x → 5 ⁡ f x , porém f não seja contínua em x = 5

b Determine a e b de forma que f seja contínua em x = 5

c Para os valores de a e b obtidos no item b anterior, existe f ' 5 ?

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Questão 3

Seja

f x = x + 1 ,     s e   x ≥ 1 2 x ,                     s e   x < 1

( I ) Calcule, se existir, lim x → 1 ⁡ f x - f 1 x - 1 . Justifique sua resposta.

( I I ) A função f é diferenciável em x = 1 ?

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Questão 4

Seja f tal que f x ≤ x ² , ∀ x   ∈   R . Mostre que f   é diferenciável em x = 0 .

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Questão 5

Considere

f x = 1 - 2 sen ⁡ x ,     x ∈ - ∞ ,   0 x - 1 2 ,                           x ∈ 0 ,   1 x 2 ln ⁡ x ,                             x ∈ 1 ,   ∞

Determine os pontos onde f não é derivável.

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Questão 6

Calcule as derivadas das seguintes funções:

  1. y = ( x 4 5 + x 9 ) ( x 4 7 - x - 1 )

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Questão 7

Seja

f x = x + 1 ,     s e   x ≥ 1 2 x ,                     s e   x < 1

( b ) Calcule, se existir, lim x → 1 ⁡ f x - f 1 x - 1 . Justifique sua resposta.

( c ) A função f é diferenciável em x = 1 ?

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Questão 8

Considere a função

f x = x 2 - 1 x 2 - 1

a Esboce o gráfico de f ( x ) .

( b ) Determine analiticamente o(s) ponto(s) em que f é descontínua.

( c ) Esta(s) descontinuidade(s) pode(m) ser removida(s)? Justifique.

( d ) A função f é diferenciável em x = 1 ? Justifique.

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Questão 9

Seja

f x = 3 - x 2 , x < 1 1 x , x ≥ 1

f é diferenciável em x = 1 ? f é contínua em x = 1 ?

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Questão 10

14. Determine a e b reais para que a função f dada por f ( x ) = a x + b ,     s e   x < 2 2 x 2 - 1 ,     s e   x ≥ 2 seja derivável em 2 .

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Questão 11

15. Dada a função f x = x 2 - 7 ,     s e   0 < x ≤ b 6 x ,     s e   x > b ,

a) Determine um valor de b para o qual f é contínua em b ;

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Questão 12

Seja f : R → R uma função derivável e seja a ∈ R fixado. Verifique as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.

  1. Se f é derivável até segunda ordem com f ' x > 0 e f ' ' x > 0   , para todo x > a , então lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞

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Questão 13

15. Dada a função f x = x 2 - 7 ,     s e   0 < x ≤ b 6 x ,     s e   x > b ,

b) f é derivável no ponto x = b encontrado no item anterior?

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Questão 14

Seja f : R → R uma função derivável e seja a ∈ R fixado. Verifique as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.

  1. Se lim x → + ∞ ⁡ f ' x = 0 então lim x → + ∞ ⁡ f x = L ∈ R

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Questão 15

Seja f : R → R uma função derivável e seja a ∈ R fixado. Verifique as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.

d) se existe uma assíntota para f (quando x → + ∞ ) com coeficiente angular m e se existe lim x → + ∞ ⁡ f ' ( x ) = L , então L = m

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Questão 16

Sejam f e g funções reais a valores reais. Considere as seguintes afirmações:

  1. Se f é contínua em x 0   ϵ   d o m   f , então é derivável em x 0 .
  2. Suponha f inversível com inversa g , f derivável em x 0   ϵ   d o m   f , g contínua em f ( x 0   ) e f ' ( x 0   ) ≠ 0 . Então g é derivável em f ( x 0   ) .
  3. Se f e g forem ambas descontínuas em x 0   ϵ   d o m   f ⋂ d o m   g , então f + g é descontínua em x 0   .

São verdadeiras:

  1. Apenas a afirmação I
  2. Apenas a afirmação II
  3. Apenas a afirmação III
  4. Todas as afirmações
  5. Apenas as afirmações II e III

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Questão 17

Use a definição para verificar se a função f x = x 2 - 4 ,       s e   x ≤ 2 x - 2 x 2 ,       s e   x > 2 tem derivada no ponto a = 2 .

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Questão 18

07) Determine a e b de modo que f x =   x 2             s e   x < 1 a x + b             s e   x ≥ 1                 seja diferenciável.

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Questão 19

Assinale a alternativa cuja afirmação é verdadeira

  1. Se f : ] - 1,1 [ → I R é uma função derivável, com derivada contínua, tal que f possui pontos críticos, então f possui extremos locais.
  2. Se f : ] - 1,1 [ → I R é uma função qualquer tal que f 1   f - 1 < 0 , então existe c ∈   ] - 1,1 [ tal que f c = 0
  3. Se f : ] - 1,1 [ → I R é uma função derivável, com derivada contínua, c   ∈   ] - 1,1 [ é o único ponto crítico de f e c é o ponto de mínimo local de f então c é o ponto de mínimo global de f .
  4. Se f : ] - 1,1 [ → I R é uma função contínua tal que f é derivável em ] - 1,1 [ e f 1 = f - 1 + 1 , então existe c ∈   ] - 1,1 [ tal que f ' c = 1
  5. Se f : ] - 1,1 [ → I R é uma função derivável tal que f 0 = 1 e f ' x > 0 para todo x ∈   ] - 1,1 [ , então f x > 0 para todo x ∈   ] - 1,1 [

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Questão 20

Assinale a alternativa cuja afirmação é verdadeira

  1. Se f : ] - 1,1 [ → I R é uma função derivável tal que f não possui pontos críticos, então f não possui extremos globais
  2. Se f : ] - 1,1 [ → I R é uma função qualquer tal que f 1   f - 1 < 0 , então existe c ∈   ] - 1,1 [ tal que f c = 0
  3. Se f : ] - 1,1 [ → I R é uma função contínua tal que f é derivável em ] - 1,1 [ e f 1 = f - 1 + 1 , então existe c ∈   ] - 1,1 [ tal que f ' c = 1
  4. Se f : ] - 1,1 [ → I R é uma função derivável e c ∈   ] - 1,1 [ é o único ponto crítico de f , então c é extremo global de f .
  5. Se f : ] - 1,1 [ → I R é uma função derivável tal que f 0 = 1 e f ' x > 0 para todo x ∈   ] - 1,1 [ , então f x > 0 para todo x ∈   ] - 1,1 [

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Questão 21

Seja h x = | x 2 - 4 | , x ∈ R .

(a) Dê os pontos onde h é duas vezes diferenciável e determine h ' x e h ' ' ( x ) .

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Questão 22

6. Sabendo que f é diferenciavel em x = 3 e que

lim x → 3 ⁡ x 2 f x - 45 x - 3 = 21

Determine f 3 e f ' 3 .

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Questão 23

Considere a função

f x = 3 - x 2 ,   s e   x < 1 1 x ,   s e   x ≥ 1

A função f é diferenciável em x 0 = 1 ? É contínua em x 0 = 1 ?

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Questão 24

Sejam a e b números reais tais que a função

f x = a x 2 + b                             s e       x < 5 10 e x - 5 + 20 x     s e     x ≥ 5

É diferenciável em toda parte. O valor de f ( 1 ) é

(A) 38

(B) 37

(C) 39

(D) 40

(E) 36

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Questão 25

Questão 3:

Sejam a ,   b ∈ R . Considere a função f : R → R definida por

f x = g x ,               s e       x < 1 h x ,               s e       x ≥ 1

onde

g x = a + ∫ - 1 x 2 t - 1   d t                                 e                               h x = ∫ - 1 x 3 - b t   d t

  1. Determine os valores de a e b para que a função f seja contínua e diferenciável.
  2. Esboce abaixo o gráfico de f . Desenhe também a reta tangente ao gráfico de f no ponto 1 ,   f 1 .

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Questão 26

Considere f : I R → I R a função dada por:

f x = x 2 + 5 ,     x < 1   - x 2 + 3 x + 4   ,     x ≥ 1

(c) Sejam a , b   ∈ I R e considere g : I R - < I R a função dada por:

f x = x 2 + b ,     x < a - x 2 + b - 2 x + 4   ,     x ≥ a

Determine os valores de a e b para que a função g seja contínua e diferenciável.

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Questão 27

Se g s , t = f ( s 2 - t 2 , t 2 - s 2 ) e f é diferenciável, calcule ∂ g ∂ s e ∂ g ∂ t .

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Questão 28

Usando a definição de derivada, encontre a inclinação da reta tangente ao gráfico das funções abaixo, nos pontos indicados:

c) y = x 3 + 5 ; P = ( 2 ,   13 ) .

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Questão 29

Usando a definição de derivada, encontre a inclinação da reta tangente ao gráfico das funções abaixo, nos pontos indicados:

b) y = x 2 + 1 ; P = ( 2,5 ) .

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Questão 30

Considere as funções

g x = 1 ,     x < - 1 | x | ,     x ≥ - 1 e f x = 1 ,     x < 0 1 - x 2 ,     x ≥ 0

(g) Indique nos gráficos os pontos em que f , g e ( f ∘ g ) ( x ) não são diferenciáveis

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Questão 31

Usando a definição de derivada, encontre a inclinação da reta tangente ao gráfico das funções abaixo, nos pontos indicados:

  1. y = x + 1 ; P = ( 1,2 ) .

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Questão 32

Usando a definição de derivada, encontre a inclinação da reta tangente ao gráfico das funções abaixo, nos pontos indicados:

d) y = x ; P = ( 16 ,     4 ) .

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Questão 33

Escreva na ordem crescente os números g ' ( - 2 ) , g ' ( 0 ) , g ' ( 1 ) , g ' ( 2 ) e g ' ( 4 ) .

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Questão 34

Determine a e b reais para que a função f dada por f ( x )   =   x ² ,   s e   x < 1 ; f ( x )   =   a x + b ,   s e   x ≥ 1 ; seja derivável em 1.

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Questão 35

Considere g ( x ) = f ( x ) x , com f ( x ) uma função duas vezes diferenciável. Então, a função g ( x ) é duas vezes diferenciável e satisfaz:

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Questão 36

Investigue a derivabilidade das funções nos pontos indicados

(b) x = 1 . f ( x ) = { x ,   s e 0 <   x < 1 ;   2 x - 1 ,   s e   1 ≤   x < 2

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Questão 37

Investigue a derivabilidade das funções nos pontos indicados

(c) x = 0 . f ( x ) = | x |

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Questão 38

Seja f: ⵏR ⟶ ⵏR definida por f ( x ) =   { 2 ,   s e   x   > 0 ,   e   - x ,     s e   x ≤   0

(c) f é derivável em x = 0 ?

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Questão 39

Seja f: ⵏR ⟶ ⵏR definida por f ( x ) =   | x | + x .

(a) Existe f ' ( 0 ) ?

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Questão 40

Seja f: ⵏR ⟶ ⵏR definida por f ( x ) =   | x | + x .

(b) Existe f ' ( x )   para todo x ≠ 0 ?

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Questão 41

Investigue a derivabilidade das funções nos pontos indicados

(a) x = 0 . f ( x ) = { x ,   s e   x > 0 ;   x 2 ,   s e   x ≤ 0

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Questão 42

Seja f: ⵏR ⟶ ⵏR definida por f ( x ) =   | x | + x .

(c) Como se define a função f ' ( x )   ?

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Questão 43

Considere a função f : ℝ → ℝ definida por f ( x ) = x | x | .

b ) Existe f ' ( 0 ) ?

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Questão 44

Assinale V (VERDADEIRO) ou F (FALSO). Se VERDADEIRO, justifique sua resposta, se FALSO, apresente uma função que satisfaça tal propriedade.

() Se f ( x ) for uma função contínua no ponto x = a , então f é derivável em x = a .

() Se f ( x ) for uma função derivável no ponto x = a , então f é contínua em x = a .

() Se f ' ( a ) existe, então l i m x → a f ( x ) = f ( a ) .

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Questão 45

Encontre a e b de modo que a função f ( x ) = { 3 x 2 ,   s e   x ≤ 1 ;   a x + b x > 1 , seja derivável em x = 1 .

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Questão 46

Seja a função f

Ela é contínua em 1? é derivável em 1?

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Questão 47

Se f : - 1,4 → I m ( f ) é uma função diferenciável tal que f - 1 = 7 ,   f 1 = 2 ,   f 2 = 0 e f ' x < - 1 em [ - 1,4 ] .

b) Prove que existem x 0 e x 1 em [ - 1,4 ] tais que

f ' x 0 =   - 2 ,   f ' x 1 =   - 7 / 3

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Questão 48

Se f : - 1,4 → I m ( f ) é uma função diferenciável tal que f - 1 = 7 ,   f 1 = 2 ,   f 2 = 0 e f ' x < - 1 em [ - 1,4 ] .

c) Explique porque f 0 < 6 .

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Questão 49

Se f : - 1,4 → I m ( f ) é uma função diferenciável tal que f - 1 = 7 ,   f 1 = 2 ,   f 2 = 0 e f ' x < - 1 em [ - 1,4 ] .

e) Utilizando o item b), se f x 0 = y 0 e f x 1 = y 1 , calcule ( f - 1 ) ' ( y 0 ) e ( f - 1 ) ' ( y 1 ) .

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Questão 50

Seja f : R → R uma função derivável e seja a ∈ R fixado. Verifique as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.

e) se lim x → + ∞ ⁡ f ' ( x ) = m ∈ R ,   m ≠ 0 , então f tem uma assíntota com coeficiente angular igual a m

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Questão 51

Verifique a diferenciabilidade das funções abaixo no ponto 0,0 .

a) g x , y =   x 2 y x 2 + y 2 ,           s e   x , y ≠ ( 0,0 ) 0 ,                           s e   x , y = ( 0,0 )

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Questão 52

Considere a função abaixo:

Onde n é um número inteiro positivo. Para que valores de n a função f é derivável em x = 0 ? Para que valores de n a função f é contínua em x = 0 ?

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Questão 53

7. Dada a função f x = x 3 cos ⁡ 1 x ,     s e   x ≠ 0 0 ,     s e   x = 0

Mostre que:

a) f é diferenciável.

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Questão 54

Se f x = a x + 1 para x ≤ 0 e f x = x 3 + b x para x > 0 , determine se existem a , b tais que f x seja diferenciável em x = 0 .

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Questão 55

Mostre que se f e g são funções diferenciáveis em a , b e contínuas em a , b , com f ' x = g ' x para todo x ∈ a , b , então existe uma constante k ∈ R tal que f x = g x + k para todo x ∈ a , b .

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Questão 56

3. Uma função f : R → R satisfaz as seguintes propriedades:

  • f 2 = 0
  • lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = 1
  • lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = - ∞ e lim x → 2 - ⁡ f ( x ) = + ∞
  • lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = 1
  • f é estritamente crescente em 0,2 e ( 2 , + ∞ )
  • f é uma função par

c. f é derivável no ponto x = 2 ? Justifique.

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Questão 57

Calcule k ' x onde for possível e verifique se existe k ' 1 , onde:

k x = x 2 ,     x ≤ 1 - x + 2 ,     x > 1

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Questão 58

Mostre que f x = x não é derivável em x = 0 .

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Questão 59

Verifique se a função

g x = 1 + x 2 ,     x ≤ 1 - x + 3 ,     x > 1

Tem derivada em x = 1 .

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Questão 60

Determine, se existirem, os valores de a , b para que a função

g x = 1 + a x ,     x ≤ 0 x 3 + b x 2 ,     x > 0

Seja derivável em x = 0 .

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Questão 61

Seja f :   R → R dada por

f x = x 2 - 3           ,           s e   x ≥ 2 4 x - 7             ,           s e   x < 2

(a) A função f é contínua em x = 2 ? Justifique sua resposta.

(b) A função f é derivável em x = 2 ? Justifique sua resposta. Caso sim, encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f em x = 2 .

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Questão 62

Seja

f x , y = y 3 x 2 + y 2 ,               x ,   y ≠ ( 0,0 ) 0 ,                                         x , y = ( 0,0 )

  1. Determine se f é contínua no ponto ( 0,0 ).
  2. Determine se f é diferenciável no ponto (0,0).

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Questão 63

  1. Considere a função f cujo gráfico está representado abaixo. Determine os pontos em que f não é diferenciável.

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Questão 64

5. Mostre que a função f x = x - 5 não é diferenciável em x 0 = 5 . Encontre uma fórmula para f ' e esboce seu gráfico.

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Questão 65

  1. Considere a função f cujo gráfico está representado abaixo. Determine os pontos no intervalo - 4,6 em que f não é diferenciável.

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Questão 66

Parte 1: Mostre que f x = x 2 + 2 ,   x < 1 2 x + 1 , x ≥ 1   é derivável em x 0 = 1 e calcule f ' ( 1 )

Parte 2: Esboce o gráfico de f

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Questão 67

Seja f x = x 2 ,     x ≤ 1 1 ,     x > 1 . Verifique se f é contínua e diferenciável em 2 . Esboce o gráfico de f .

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Questão 68

Um balão meteorológico é solto e sobe verticalmente de modo que sua distância s ( t ) do solo durante os 10 primeiros segundos de voo é dada por s t = 6 - 2 t + t 2 , na qual s ( t ) é contada em metros e t em segundos. Determine a velocidade do balão no instante em que o balão está a 50 metros do solo.

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Questão 69

Decida se a proposição abaixo é falsa ou verdadeira, justificando:

Se f não é derivável em x = 0 , então lim x → 0 ⁡ f x ≠ f 0

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Questão 70

Seja f x = x + 1 ,     x < 2 1 ,     x ≥ 2 . Verifique se f é contínua e diferenciável em 2 . Esboce o gráfico de f .

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Questão 71

08) Seja f tal que f x ≤ x 2 ,   ∀   x ∈ R . Mostre que f é diferenciável em x = 0 .

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Questão 72

Seja f tal que f ( x ) ≤ x ² , ∀ x ∈   R . Mostre que f é diferenciável em x = 0 .

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Questão 73

(Stewart) Usando um aplicativo para construir gráficos de funções, faça o gráfico da função y = x + x . Dê zoom primeiro em direção ao ponto ( — 1,0 ) e, então, em direção à origem. Qual a diferença entre os comportamentos de f próximo a esses dois pontos? O que você conclui sobre a diferenciabilidade de f ?

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Questão 74

Considere

Verifique se f é derivável em 1

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Questão 75

Parte 1: Mostre que f x = x 2 + 2 ,   x < 1 2 x + 1 , x ≥ 1   não é derivável em x 0 = 1 e calcule f ' ( 1 )

Parte 2: Esboce o gráfico de f

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Questão 76

(Stewart) Usando um aplicativo para construir gráficos de funções, dê zoom em direção aos pontos ( 1,0 ) , ( 0,1 ) e ( - 1,0 ) sobre o gráfico da função g ( x )   =   x 2   —   1 2 3 . O que você observa? Explique o que você viu em termos da diferenciabilidade da função g .

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Questão 77

Considere a seguinte função f : R → R dada por f x = 1 - x ,   s e   x ≤ 0 1 ,   s e   x > 0 . Podemos afirmar que:

  1. ∄ f ' 0 ;
  2. f ' 0 = 1
  3. f ' 0 = - 9 ;
  4. f ' 0 = - 4 ;
  5. f ' 0 = - 2 ;

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Questão 78

Suponha que f é uma função derivável em x 0   = 0 e que f(0) = 0. Mostre que   f ( x )   =   x g ( x ) para alguma função g que é contínua em   x 0   = 0.

Dica: O que acontece se você tentar escrever g ( x )   = f ( x ) x ?

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Questão 79

Seja f uma função derivável em x 0 e considere a função d ( x ) =   f ( x ) − f   ′   ( a ) ( x   - a )   −   f ( a ) . Calcule d ( a ) e d ’ ( a ) . Interprete geometricamente os resultados obtidos.

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Questão 80

(2) Encontre f ' x para as funções f x abaixo.

(a) f x = sin ⁡ x + 1 2 x + 2

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Questão 81

(10) (a) Prove que se f é diferenciável em a , então f também é diferenciável em a desde que f a ≠ 0 .

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Questão 82

(10) (b) Dê um contraexemplo quando f a = 0

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Questão 83

  1. Considere a função f : R → R dada por

x 2 sin ⁡ 1 x   s e   x ≠ 0 0                                   s e   x = 0

  1. Mostre que se f é diferenciável em x = 0 e calcule f ' 0
  2. Usando o fato que f é diferenciavel em todos os pontos de R , calcule f ' x para cada x   ∈ R e mostre que a função f ' : R → R não é continua em x = 0 .

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Questão 84

Seja

f x = - x 2       , x < 1 1 x       ,   x ≥ 1

f é diferenciável em x = 1 ? f é contínua em x = 1 ?

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Questão 85

5. Considere a função g dada por

g x = x 2 + 2 ,     x ≤ 1 a x + 1 ,     x > 1

Determine a para que g seja diferenciável em x = 1 .

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Questão 86

Seja f : R →   R tal que para todo x ∈   R com x ≠ 1 ,

x 2 - 1 x - 1 ≤ f x ≤ x 2 + 3 2 .

Se f é diferenciável em x = 1 , determine f ( 1 ) e f ' ( 1 ) .

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Questão 87

Seja f uma função diferenciável num intervalo x = 0 . Considere a função g x = x f ( x ) .

(a) g é contínua em x = 0 ? Justifique.

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Questão 88

Decida em que pontos as funções a seguir são deriváveis

a. f ( x ) = x 4 + x 6   .

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Questão 89

Decida em que pontos as funções a seguir são deriváveis

b. f ( x ) = x 2 + x 4   .

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Questão 90

Sejam f : R → R derivável em x 0 = 0 tal que f(0) = f ′ (0) = 0 e g : R → R uma função limitada (não necessariamente derivável em x0 = 0). A função h(x) = f(x)g(x) é derivável em x 0 = 0? Exiba h ′ (0) em caso afirmativo

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Questão 91

Responda, justificando:

a. Se f + g é derivável em x 0 , é verdade que f e g são necessariamente deriváveis em x 0 ?

b. Se f · g é derivável em x 0 , quais condições sobre f garantem a derivabilidade de g em x 0 ?

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Questão 92

Prove que:

a. Se f é derivável em x 0 , então | f(x)| é derivável em x 0 , desde que f( x 0 ) ≠0. Dê um contra-exemplo no caso em que f( x 0 ) = 0.

b. Não é possível escrever x = f(x)g(x) com f , g deriváveis tais que f(0) = g(0) = 0

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Questão 93

Seja f uma função diferenciável tal que f x ≤ f ( 2 ) para todo x ∈ [ 1,3 ] . Determine f ' ( 2 ) .

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Questão 94

Verifique se cada uma das funções abaixo é contínua e se é derivável no ponto x 0 indicado.

a )   f x = x 2 + x cos ⁡ 1 x ,   s e   x ≠ 0 0 ,   s e   x = 0

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Questão 95

Verifique se cada uma das funções abaixo é contínua e se é derivável no ponto x 0 indicado.

b )   f x = x sin ⁡ 1 x ,   s e   x ≠ 0 0 ,   s e   x = 0 ,   x 0 = 0

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Questão 96

Verifique se cada uma das funções abaixo é contínua e se é derivável no ponto x 0 indicado.

c )   f x = x 2 sin ⁡ 1 x ,   s e   x ≠ 0 0 ,   s e   x = 0 ,   x 0 = 0

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Questão 97

Sejam f e g funções deriváveis em um intervalo aberto I ,   a ∈ I e h x = f x ,   s e   x ≥ a g x ,   s e   x < a

Mostre que h é derivável em a se e somente se f a = g ( a ) e f ' a = g ' ( a ) . Construa contraexemplos removendo uma das condições de cada vez

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Questão 98

Verifique se cada uma das funções abaixo é contínua e se é derivável no ponto x 0 indicado.

d )   f x = sin ⁡ x x ,   s e   x ≠ 0 1 ,   s e   x = 0 ,   x 0 = 0

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Questão 99

Mostre que se f é derivável em a e,

  f ′ ( a )   ≠ 0

então o coeficiente angular da reta normal ao gráfico de f em ( a ,   f   ( a ) ) é

− 1 / ( f ′ ( a ) ) .

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Questão 100

  1. Estude, em função dos valores α ∈ R , a continuidade da função f : R 2 → R ,   dada por

    2. f x , y = x 4 + 2 x 2 y 2 + α y 4 cos ⁡ x 2 + α y 2 - 1 ,         x , y ≠ ( 0,0 ) - 2 α ,         x , y = ( 0,0 )

  2. Analise a diferenciabilidade de f ( x , y ) em ( 0,0 ) para os casos de α = 0 e α = 1 .

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Questão 101

5. Calcule ∫ γ 1 + γ 2 - y d x + x d y x 2 + y 2 , onde γ 1 é a circunferência x 2 + y 2 = 1 , percorrida no sentido positivo, e γ 2 é a circunferência x + 2 2 + y 2 = 1 ; percorrida no sentido horário.

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Questão 102

Parte 1: Mostre que f x = 2 x + 1 ,   x < 1 - x + 4 , x ≥ 1   não é derivável em x 0 = 1

Parte 2: Esboce o gráfico de f

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Questão 103

Parte 1: Mostre que f x = 2 x + 1 ,   x < 1 - x + 4 , x ≥ 1   não é derivável em x 0 = 1

Parte 2: Esboce o gráfico de f

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Questão 104

(2) Encontre o volume comum de dois cilindros circulares, cada um com raio r , se os eixos dos cilindros se intersectam em ângulos retos.

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Questão 105

Assinale a única alternativa correta sobre a função f :   C   - > C dada por f z =   z 2

  1. Ela é uma função inteira
  2. Ela não é derivável em nenhum ponto
  3. Ela é derivável apenas em z = 0
  4. Ela é derivável na circunferência dada por |Z| = 1
  5. Ela é analítica em z = 0

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Questão 106

Seja f uma função diferenciável num intervalo x = 0 . Considere a função g x = x f ( x ) .

(b) Determine o valor de f ( 0 ) para que g seja diferenciável em x = 0 . Justifique.

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Questão 107

Encontre os pontos onde a função não é derivável

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Questão 108

Seja a função f

Ela é contínua em 0? é derivável em 0?

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Questão 109

Seja a função f

Escolha os valores de m e b que tornam a função derivável em todo lugar

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Questão 110

Para quais valores a função f é derivável?

f ( x ) = | x - 5 |

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Questão 111

Para quais valores a função f é derivável?

f ( x ) = | x ² - 9 |

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Questão 112

Seja f : R → R , tal que f x ≤ x 3 + x 2 , para todo x ∈ R . Mostre que f é derivável em x 0 = 0 .

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Questão 113

Decida, justificando ou apresentando contra-exemplo, se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa:

a. Se f é derivável em x 0 , então | f(x)| é derivável em x 0 , desde que f( x 0 ) ≠0. E no caso em que f( x 0 ) = 0?

b. Se f, g são duas funções deriváveis em x 0 , então as funções h 1 ( x )   =   m a x {   f ( x ) ,   g ( x ) } e h 2 ( x )   =   m i n {   f ( x ) ,   g ( x ) } são deriváveis em x 0 ;

c. Suponha   f ( x )   =   x g ( x ) , onde g é uma função contínua em   x 0   = 0. Então f é derivável em   x 0   = 0. Se for verdadeira, calcule f ′ (0) em termos de g;

d. É possível escrever x = f(x)g(x) com f , g deriváveis tais que f(0) = g(0) = 0.

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Questão 114

3. Seja f : - 4,6 → R a funçã cujo gráfico está abaixo.

  1. Em quais pontos do domínio f não é contínua?
  2. Em quais pontos do domínio f não é diferenciavel?
  3. Represente graficamente f ' .

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Questão 115

Sejam f , g : R → R cujos gráficos são:

Então pode-se dizer que f ∘ g :

a) não é derivável somente em x = 1 ;

b) não é derivável somente em x = 2 ;

c) não é derivável somente em x = 1 e x = 2 ;

d) é derivável em todos os pontos e f ∘ g ' 1 = 2 ;

e) é derivável em todos os pontos e f ∘ g ' 1 = 4 .

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Questão 116

Prove que se f e g são diferenciaveis em a, então as funções max(f, g) e min(f, g)

são diferenciaveis em a desde que f a ̸ ≠   g a .

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Questão 117

Dê um contraexemplo quando f(a) = g(a).

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Questão 118

Considere f ( x )   = x 2 3

a. Mostre que a função f não é derivável em x = 0 .

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Questão 119

Considere f ( x )   = x 2 3

b. Determine uma curva γ :   R   →   R 2 , derivável e cuja imagem seja igual ao gráfico de f .

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Questão 120

Considere f ( x )   = x 2 3

c. Interprete geometricamente o fato de que f não é derivável em x = 0, mas a curva γ é derivável em t 0 , onde γ ( t 0 )   = ( 0 ,   0 ) .

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Questão 121

Construa uma função f : R → R derivável num único ponto.

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Questão 122

Decida se cada função a seguir é ou não diferenciável na origem. Justifique!

a )   f x , y = x 2 y x 2 + y 2   s e   x , y ≠ ( 0,0 ) 0   s e   x , y = ( 0,0 )

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Questão 123

Decida se cada função a seguir é ou não diferenciável na origem. Justifique!

b )   f x , y = x 2 y 2 x 2 + y 2   s e   x , y ≠ ( 0,0 ) M     s e   x , y = ( 0,0 )

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Questão 124

Sejam f   :   R   →   R derivável e a ,   b   ∈   R tais que f ( a )   =   f ( b )   =   0 . Determine qual das

alternativas abaixo implica a existência de um c entre a   e   b tal que f ( c )   =   0 .

a .   f ( a )   >   0   e   f ′ ( b )   <   0 .   b .   f ′ ( a ) f ′ ( b )   >   0 .   c .   f ′ ( a )   +   f ′ ( b )   >   0 .   d .   f ′ ( a )   +   f ′ ( b )   <   0 .

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Questão 125

Seja f : R → R uma função derivável e seja a ∈ R fixado. Verifique as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.

  1. Se f ' x > 0 , para todo x > a , então lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = + ∞

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Questão 126

Considere a função

f x = x + x 3 sin ⁡ 1 x ,     x ≠ 0 0 ,     x = 0

c) f é uma função diferenciável em todo seu domínio?

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Listas de Exercícios Resolvidos

Lista de Polinômio de Taylor para f(x,y)Lista de Caso AvançadoLista de Erro do Polinômio de Taylor para f(x)Lista de Wronskiano - Dependência e Independência LinearLista de Caso Vetorial no R³Lista de Limites Laterais e Existência do LimiteLista de Caso Escalar R²Lista de Área de Superfícies de RevoluçãoLista de Área entre Curvas Lista de Curvas de Nível

Principais Conceitos de Cálculo

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