Enunciado

(a) Prove:

d 2 [ c f x ] d x 2 = c × d 2 [ f x ] d x 2

d 2 [ f x + g ( x ) ] d x 2 = d 2 [ f x ] d x 2 + d 2 [ g x ] d x 2

(b) Os resultados de (a) se generalizam para enésima derivada? Justifique.

Passo 1

(a) Primeiro, vamos provar que d 2 [ c f x ] d x 2 = c × d 2 [ f x ] d x 2 :

Levando em consideração que a segunda derivada de uma função é só a pegar a primeira derivada e derivar novamente, se provarmos que, ao derivar uma função multiplicada por uma constante, nós teríamos a constante multiplicada pela derivada da função, ou seja:

d [ c f x ] d x = c × d [ f x ] d x

Ao derivar isso de novo, pelo mesmo raciocínio, teríamos:

d 2 [ c f x ] d x 2 = c × d 2 [ f x ] d x 2

Pois agora seria:

d c × d f x d x d x = d [ c f ' x ] d x = c × d [ f ' x ] d x = c × d 2 [ f x ] d x 2

E para provar que d [ c f x ] d x = c × d [ f x ] d x , vamos pegar a demonstração:

d [ c f x ] d x = lim h → 0 ⁡ c f x + h - c f x h

= lim h → 0 ⁡ c f x + h - f x h

= c × lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

= c × d [ f x ] d x

Seria só repetir esse processo usando f ' ( x ) no lugar de f x . E isso serve para todas as outras derivadas adiante, sempre será uma repetição desse processo.

Passo 2

Para provar que d 2 [ f x + g ( x ) ] d x 2 = d 2 [ f x ] d x 2 + d 2 [ g x ] d x 2 , vamos levar em consideração que a segunda derivada de uma função é só a pegar a primeira derivada e derivar novamente, se provarmos que, ao derivar uma função somada a outra, nós teríamos a das derivadas das funções, ou seja:

d [ f x + g ( x ) ] d x = d [ f x ] d x + d [ g x ] d x

Ao derivar isso de novo, pelo mesmo raciocínio, teríamos:

d 2 [ f x + g ( x ) ] d x 2 = d 2 [ f x ] d x 2 + d 2 [ g x ] d x 2

Pois agora seria:

d d [ f x ] d x + d [ g x ] d x d x = d f ' ( x ) + g ' ( x ) d x = d [ f ' ( x ) ] d x + d [ g ' x ] d x = d 2 [ f x ] d x 2 + d 2 [ g x ] d x 2

E para provar que d [ f x + g ( x ) ] d x = d [ f x ] d x + d [ g x ] d x , vamos pegar a demonstração:

d [ f x + g ( x ) ] d x = lim h → 0 ⁡ f x + h + g x + h - [ f x + g x ] h

= lim h → 0 ⁡ f x + h - f x ] + [ g x + h - g ( x ) h

= lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h + lim h → 0 ⁡ g x + h - g x h

= d [ f x ] d x + d [ g x ] d x

Seria só repetir esse processo usando f ' ( x ) no lugar de f x e g ' ( x ) no lugar de g ( x ) . E isso serve para todas as outras derivadas adiante, sempre será uma repetição desse processo.

Passo 3

(b) Sim, pois como vimos, derivar n vezes dentro das propriedades da derivada, é repetir o processo n vezes, o que só aumento o grau final das derivadas, mas o processo e o raciocínio é o mesmo.

Resposta

(a) Provado

(b) Sim, pois como vimos, derivar n vezes dentro das propriedades da derivada, é repetir o processo n vezes, o que só aumento o grau final das derivadas, mas o processo e o raciocínio é o mesmo.

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