Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 71
(a) Prove:
(b) Os resultados de (a) se generalizam para enésima derivada? Justifique.
Passo 1
(a) Primeiro, vamos provar que :
Levando em consideração que a segunda derivada de uma função é só a pegar a primeira derivada e derivar novamente, se provarmos que, ao derivar uma função multiplicada por uma constante, nós teríamos a constante multiplicada pela derivada da função, ou seja:
Ao derivar isso de novo, pelo mesmo raciocínio, teríamos:
Pois agora seria:
E para provar que , vamos pegar a demonstração:
Seria só repetir esse processo usando no lugar de . E isso serve para todas as outras derivadas adiante, sempre será uma repetição desse processo.
Passo 2
Para provar que , vamos levar em consideração que a segunda derivada de uma função é só a pegar a primeira derivada e derivar novamente, se provarmos que, ao derivar uma função somada a outra, nós teríamos a das derivadas das funções, ou seja:
Ao derivar isso de novo, pelo mesmo raciocínio, teríamos:
Pois agora seria:
E para provar que , vamos pegar a demonstração:
Seria só repetir esse processo usando no lugar de e no lugar de . E isso serve para todas as outras derivadas adiante, sempre será uma repetição desse processo.
Passo 3
(b) Sim, pois como vimos, derivar vezes dentro das propriedades da derivada, é repetir o processo vezes, o que só aumento o grau final das derivadas, mas o processo e o raciocínio é o mesmo.
Resposta
(a) Provado
(b) Sim, pois como vimos, derivar vezes dentro das propriedades da derivada, é repetir o processo vezes, o que só aumento o grau final das derivadas, mas o processo e o raciocínio é o mesmo.