Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 69b
Encontre todos os pontos onde não é diferenciável. Justifique sua resposta.
(b)
Passo 1
Se liga nesse teorema:
“Teorema: Seja uma função contínua em e suponha que exista . Então é diferenciável em e .”
Então, para ser diferenciável, a função deve ser contínua.
Passo 2
Para uma função ser contínua em um ponto :
Se isso acontecer, é contínua em .
Então, queremos um ponto em que a função não seja contínua. Mas são tantos ponto possíveis, qual posso testar?
Passo 3
Se liga aqui, vou te dar uma dica nessas horas:
Vamos pensar numa parábola . Seu gráfico é:
E se a gente der um zoom maneiro em algum ponto desse gráfico, vamos ter algo:
Repare que quanto maior o zoom que nós damos, a parábola se parece cada vez mais perto de uma reta.
Agora, vamos olhar para essa função módulo que temos no problema, .Se não tivesse o módulo, seu gráfico seria com a parte pontilhada, mas com o módulo, jogamos toda aquela parte negativa para cima e o gráfico fica assim (parte não pontilhada):
Vemos algumas curvas, mas com 2 pontos onde tocam o eixo , que se dermos zoom, vamos começar a ver algo parecido com um triângulo invertido. Assim:
E mesmo que a gente continue dando um zoom nele, o gráfico continua com aquela cara de triângulo invertido, certo? Parece uma função módulo de primeiro grau. E isso acontece com os dois pontos no eixo , e . Então, esses ponto são fortes candidatos pra gente!!
Aí você pode se perguntar sobre o vértice da parábola, a grande dica é: a parábola possui uma curva naquele local, o que dá um comportamento “diferenciável”, digamos assim, isso porque curvas possuem derivadas (pelo menos a princípio). A parte da função, depois de muito zoom, que tem essa cara de triângulo invertido tem um ponto ali, rodeado de retas. As retas possuem uma derivada, só olhar para equação da reta , se você deriva, acha , então qualquer reta tem uma derivada (pelo menos a princípio). Agora, nesses pontos sobre o eixo , temos pontos. “Pontos não são deriváveis”, isso porque ao derivar uma forma, você diminui a dimensão dela e o ponto já é a menor dimensão possível (dimensão 0). Beleza?
Conclusão: vamos testar os pontos e .
Passo 4
Calculando o limite:
Onde:
Ou seja, ela é definida por:
Vamos olhar para os limites laterais e eles devem coincidir.
Limite lateral pela esquerda:
Limite lateral pela direita:
Opa, os limites laterais coincidiram, então:
Passo 5
Para a função ser contínua em :
Como vimos:
Agora, olhando para a função:
Quando , a função vale obedece essa equação: . Então:
Muito bom! Dessa forma, é contínua em , já que:
Passo 6
Calculando o limite:
Onde:
Ou seja, ela é definida por:
Vamos olhar para os limites laterais e eles devem coincidir.
Limite lateral pela esquerda:
Limite lateral pela direita:
Opa, os limites laterais coincidiram, então:
Passo 7
Para a função ser contínua em :
Como vimos:
Agora, olhando para a função:
Quando , a função vale obedece essa equação: . Então:
Muito bom! Dessa forma, é contínua em , já que:
Passo 8
Agora, falta ver se existe.
Vamos calcular o limite:
Se , então:
Se :
Calculando os limites laterais:
Limite lateral pela esquerda:
Limite lateral pela direita:
Como os limites laterais não coincidiram, o limite não existe e, portanto, não é diferenciável em , como esperado!
Passo 9
Se :
Calculando os limites laterais:
Limite lateral pela esquerda:
Limite lateral pela direita:
Como os limites laterais não coincidiram, o limite não existe e, portanto, não é diferenciável em , como esperado!
Para todos os outros pontos diferentes de e , a função é diferenciável.
Resposta
não é diferenciável em e em .