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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.4 - Ex. 15b

Prove:

(b) D_x (c o t g h x) = - cos ec h ² x

Passo 1

Primeiro, temos que lembrar as funções:

c o t g h x = (e^x + e^(- x))/(e^x - e^(- x))

c o s e c h x = (2)/(e^x - e^(- x))

Então:

D_x (c o t g h x) = D_x ((e^x + e^(- x))/(e^x - e^(- x)))

D_x ((e^x + e^(- x))/(e^x - e^(- x))) = ((e^x - e^(- x)) . D_x (e^x + e^(- x)) - (e^x + e^(- x)) . D_x (e^x - e^(- x)))/(( e^x - e^(- x) ) ²)

D_x ((e^x + e^(- x))/(e^x - e^(- x))) = ((e^x - e^(- x)) . [ D_x (e^x ) + D_x ( e^(- x)) ] - (e^x + e^(- x)) . [ D_x (e^x - D_x ( e^(- x)) ])/(( e^x - e^(- x) ) ²)

Resolvendo as derivadas separadamente:

D_x (e^x) = e^x

D_x (e^(- x)) = - e^(- x)

Substituindo:

D_x ((e^x + e^(- x))/(e^x - e^(- x))) = ((e^x - e^(- x)) . ( e^x - e^(- x) ) - (e^x + e^(- x)) . ( e^x + e^(- x) ))/(( e^x - e^(- x) ) ²) = ((e^x - e^(- x)) ² - (e^x + e^(- x)) ²)/(( e^x - e^(- x) ) ²)

D_x ((e^x + e^(- x))/(e^x - e^(- x))) = (- 4)/(( e^x - e^(- x) ) ²) = - ((2)/(e^x - e^(- x)))^2

Concluindo:

D_x (c o t g h x) = - cosech ² x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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