Prove:

b Dx cotgh(x) = -cosech^2 x

Passo 1

Primeiro, temos que lembrar as funções:

c o t g h   x = e x + e - x e x - e - x

c o s e c h   x = 2 e x - e - x

Então:

D x   c o t g h   x = D x   e x + e - x e x - e - x

D x   e x + e - x e x - e - x = e x - e - x . D x   e x + e - x - e x + e - x . D x   e x - e - x ( e x - e - x ) ²

D x   e x + e - x e x - e - x = e x - e - x . [ D x   e x ) + D x ( e - x ] - e x + e - x . [ D x   e x - D x ( e - x ] ( e x - e - x ) ²

Resolvendo as derivadas separadamente:

D x   e x   = e x

D x e - x = - e - x

Substituindo:

D x   e x + e - x e x - e - x = e x - e - x . ( e x - e - x ) - e x + e - x . ( e x + e - x ) ( e x - e - x ) ² = e x - e - x ² - e x + e - x ² ( e x - e - x ) ²

D x   e x + e - x e x - e - x = - 4 ( e x - e - x ) ² = - 2 e x - e - x 2

Concluindo:

D x   c o t g h   x = - cosech ² ⁡ x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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