Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.11 - Ex. 23g
Use as definições de funções hiperbólicas para achar o valor do limite.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho?
Bom, essa questão pede pra gente usar as definições de funções hiperbólicas pra achar o limite dado por:
Para resolver esse exercício faremos exatamente o que o problema pediu. Vamos trocar a função por sua definição.
Lembrando que
E que
e
Vamos ver como fica nosso limite.
Passo 2
Nosso primeiro passo vai ser
e
Como
Então podemos escrever:
E repetindo a primeira fração e multiplicando pelo inverso da segunda ficamos com:
E simplificando ficamos com:
Sendo assim, podemos reescrever nosso limite com:
Opa, então é com esse limite que devemos nos preocupar agora.
Então, vamos calcular!!
Passo 3
Assim, temos:
E invertendo as exponenciais com expoentes negativos teremos:
E tirando o mmc nos dois membros, ficamos com:
Que simplificando se torna:
Se aplicarmos o limite nessa função, teremos uma indeterminação. Veja:
E vamos analisar com calma o que está rolando nesse nosso limite. Lembrando que todo número elevado a zero é igual a ,nosso denominador será:
Já no denominador teremos um valor que tende a por valores positivos, mas quando subtrairmos , esse denominador tenderá a zero por valores positivos. Sendo assim, nossa razão explodirá para mais infinito. Assim podemos dizer que:
E podemos concluir que:
Prontinho! Limite calculado.