Enunciado

(a) Prove que g ( γ ) dado em (13) do exemplo 4 possui um valor máximo em γ 1 = ω 2 - 2 λ ²

Sugestão: Derive em relação a γ

(b) Qual é o valor máximo de g ( γ ) em ressonância?

Passo 1

(a) Vamos lá galera, primeiramente, quem é a equação (13) do exemplo 4?

É essa aqui ó:

g γ = F 0 ω ² - γ 2 2 + 4 λ ² γ ²

O que vamos fazer é seguir a sugestão do enunciado: derivar em relação a γ , ok?

Usando a regra do quociente e regra da cadeia, temos:

g ' γ = γ . γ 2 + 2 λ 2 - ω 2

Como estamos falando de um ponto máximo, vamos igualar a derivada a 0, porque é dessa forma que encontramos os extremos:

γ . γ 2 + 2 λ 2 - ω 2 = 0

Então temos:

γ = 0

Ou:

γ 2 + 2 λ 2 - ω 2 = 0

Isolando γ :

γ 2 = - 2 λ 2 + ω 2

γ = - 2 λ 2 + ω 2

Ou seja, ta provado que temos um extremo em γ = - 2 λ 2 + ω 2 :D

Passo 2

(b) Bom, acabamos de provar que temos um ponto de máximo em γ = - 2 λ 2 + ω 2 , então vamos substituir esse valor em g γ para termos seu valor máximo:

g - 2 λ 2 + ω 2 = F 0 ω ² - - 2 λ 2 + ω 2 2 2 + β 2 - 2 λ 2 + ω 2 2

Dessa forma, o valor máximo é:

g - 2 λ 2 + ω 2 = F 0 2 λ 2 2 + β 2 - 2 λ 2 + ω 2

Resposta

b) F 0 2 λ 2 2 + β 2 - 2 λ 2 + ω 2

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