Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 17
Uma massa de 1 kg é atada a uma mola cuja constante de elasticidade vale . O meio oferece uma resistência ao movimento numericamente igual a 6 vezes a velocidade instantânea. A massa parte de um ponto localizado a 2/3 m acima da posição de equilíbrio com uma velocidade para baixo. Determine os valores de para que a massa passe pela posição de equilíbrio.
Passo 1
E aíí, vamos lá pra mais um
Temos que montar o nosso problema de valor inicial
Para isso, vamos lembrar do modelo de um sistema massa mola amortecido:
No nosso caso, temos , , e como “O meio oferece uma resistência ao movimento numericamente igual a 6 vezes a velocidade instantânea”, temos . Então:
O enunciado também fala que “A massa parte de um ponto localizado a 2/3 m acima da posição de equilíbrio com uma velocidade para baixo”
Então temos:
Agora precisamos resolver esse PVI ta bom?
Passo 2
Temos
Isso é uma equação diferencial linear de segunda ordem que tem como solução geral:
Aplicando as condições iniciais, temos:
Agora vamos ver quais devem ser os valores de para que a massa passe pela posição de equilíbrio
Passo 3
Temos
Para que a massa passe pela posição de equilíbrio, o deve ser 0:
Para que a massa passe pela posição de equilíbrio, devemos ter um :
E é issooo