Enunciado

Uma massa de 1 kg é atada a uma mola cuja constante de elasticidade vale 9   N / m . O meio oferece uma resistência ao movimento numericamente igual a 6 vezes a velocidade instantânea. A massa parte de um ponto localizado a 2/3 m acima da posição de equilíbrio com uma velocidade v 0   m / s para baixo. Determine os valores de v 0 para que a massa passe pela posição de equilíbrio.

Passo 1

E aíí, vamos lá pra mais um

Temos que montar o nosso problema de valor inicial

Para isso, vamos lembrar do modelo de um sistema massa mola amortecido:

m d 2 x d t 2 + β d x d t + k x = 0

No nosso caso, temos m = 1   k g , k = 9   N / m , e como “O meio oferece uma resistência ao movimento numericamente igual a 6 vezes a velocidade instantânea”, temos β = 6 . Então:

d 2 x d t 2 + 6 d x d t + 9 x = 0

O enunciado também fala que “A massa parte de um ponto localizado a 2/3 m acima da posição de equilíbrio com uma velocidade v 0   m / s para baixo”

Então temos:

x 0 = - 2 3

x ' 0 = v 0

Agora precisamos resolver esse PVI ta bom?

Passo 2

Temos

d 2 x d t 2 + 6 d x d t + 9 x = 0

x 0 = - 2 3

x ' 0 = v 0

Isso é uma equação diferencial linear de segunda ordem que tem como solução geral:

x t = c 1 . e - 3 t + c 2 . t . e - 3 t

Aplicando as condições iniciais, temos:

x t = - 2 3 . e - 3 t + ( v 0 - 2 ) . t . e - 3 t

Agora vamos ver quais devem ser os valores de v 0 para que a massa passe pela posição de equilíbrio

Passo 3

Temos

x t = - 2 3 . e - 3 t + ( v 0 - 2 ) . t . e - 3 t

Para que a massa passe pela posição de equilíbrio, o x deve ser 0:

- 2 3 . e - 3 t + v 0 - 2 . t . e - 3 t = 0

v 0 - 2 . t . e - 3 t = 2 3 . e - 3 t

v 0 - 2 . t = 2 3

t = 2 3 v 0 - 2

Para que a massa passe pela posição de equilíbrio, devemos ter um t > 0 :

2 3 v 0 - 2 > 0

v 0 - 2 > 0

v 0 > 2   m / s

E é issooo

Resposta

v 0 > 2   m / s

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