Prove que se

∫ - ∞ b f x d x

For convergente, então

∫ - b + ∞ f - x d x

Também será e terá o mesmo valor.

Passo 1

O enunciado quer que seja provado que as integrais na verdade são iguais, isso porque tem o mesmo valor.

Vamos pegar a que já SABEMOS que é convergente. Chamaremos de M o seu valor.

M = ∫ - ∞ b f x d x

Fazendo a substituição:

x = - a → d x = - d a

E os limites vão ficar:

x → b ⇒ a → - b

x → - ∞ ⇒ a → + ∞

A nossa integral vai ficar:

M = ∫ + ∞ - b f - x - d x = - ∫ + ∞ - b f - x d x

Pelas propriedades de integral, vamos ter que

∫ + ∞ - b f - x d x = - ∫ - b + ∞ f - x d x

Isso nos diz que

M = - - ∫ - b + ∞ f - x d x = ∫ - b + ∞ f - x d x

Logo

∫ - ∞ b f x d x = ∫ - b + ∞ f - x d x

E se a primeira converge, como a segunda é igual, também converge.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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