Suponha que f seja contínua para todos os valores de x . Prove que se lim a → - ∞ ⁡ ∫ a c f x d x = L E lim b → + ∞ ⁡ ∫ b a f x d x = M Então, sendo d um número real qualquer, lim a → - ∞ ⁡ ∫ a d f x d x + lim b → + ∞ ⁡ ∫ d b f x d x = L + M Sugestão: ∫ a d f x d x = ∫ a c f x d x + ∫ c d f x d x ∫ d b f x d x = ∫ d c f x d x + ∫ c b f x d x

Enunciado

Vamos começar pegando a sugestão que ele deu

A integral no limite, sendo isolada nessa equação, vai ser:

Colocando isso no primeiro limite, vamos ter:

Pelas propriedades de limite

Mas a integral de até não tem a variável , então ela é uma constante nesse limite, o que faz com que:

Vamos para a outra

A integral no limite, sendo isolada nessa equação, vai ser:

Colocando isso no primeiro limite, vamos ter:

Pelas propriedades de limite

Mas a integral de até não tem a variável , então ela é uma constante nesse limite, o que faz com que:

Se somarmos as duas equações que achamos no final de cada passo anterior, vamos ter:

Pelas propriedades de integral, vamos ter que

Assim, nossa equação fica

As duas integrais fora do limite vão se anular.

Ei, a resposta está no passo a passo :)