Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.9 - Ex. 69b
(b) Prove que, se for uma função par, então
e dê uma explicação geométrica desse resultado.
[Sugestão: Divida o intervalo de integração de até em duas partes em 0.]
Passo 1
Vamos refletir. Uma função par tem essa propriedade:
Se a gente usar a sugestão do enunciado, a nossa integral fica assim:
Podemos aplicar a substituição na primeira integral:
A integral fica:
Passo 2
Vamos aplicar uma propriedade de integral e a própria propriedade da fun��ão par:
O valor de duas integrais definidas é o mesmo se o integrando e os extremos de integração forem os mesmos, independendo da variável usada. Logo a gente pode dizer que:
Substituindo isso na continha da nossa integral principal:
Provamos!
Passo 3
Uma forma geométrica de provar isso é que a função par é simétrica em relação ao eixo . E isso implica em:
Ou seja, a área líquida do gráfico da função à esquerda do eixo tem o mesmo valor em relação à área do lado direito.
O que leva a gente a pensar que:
Isso acontece, por exemplo, com no intervalo .
Resposta
Prova nos passos