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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.9 - Ex. 50

31-50 Calcule as integrais por qualquer método.

50. ∫ 1 2 x 3 + x 4 d x

Passo 1

Essa integral aí de cima não te lembra algo ????   a r c t a n ⁡ ( x ) . Sim ou claro ??? Mas ela tá meio diferente né??? Mas não se desespere. É só a gente dar uma ajeitada.

Eu vou refrescar a sua memória de como é a derivada de a r c t a n ⁡ ( x ) :

d a r c t a n ⁡ x d x = 1 1 + x 2

Então, a nossa integral deveria ser

∫ 1 1 + x 2

Tá legal. Agora que já entendemos isso, vamos começar mexendo no denominador da nossa integral.

∫ 1 2 x 3 + x 4 d x = ∫ 1 2 x 3 1 + x 4 3 d x

1 3 ∫ 1 2 x 1 + x 4 3 d x = 1 3 ∫ 1 2 x 1 + x 2 3 2 d x

Passo 2

Agora, vamos para o momento mais esperado.... a substituição.

Então, denote

u = x 2 3 ↔ d u = 2 x 3 d x ↔ 3 2 d u = x d x

Tá bom. Já podemos fazer a substituição na integral.

1 3 ∫ 3 2 1 + u 2 d u = 3 6 ∫ 1 1 + u 2 d u

3 6 a r c t a n ⁡ ( u ) + C

O que temos aqui é uma integral indefinida. O próximo passo é mudar os limites de integração.

Passo 3

Quando x = 2 ,   temos

u = 2 3

Já para x = 1 , vemos que

u = 1 3

Finalmente estamos prontos para calcular a bendita integral.

Assim,

∫ 1 2 x 3 + x 4 d x = 3 6 arctan ⁡ u 1 3 2 3  

3 6 arctan ⁡ 2 3 - arctan ⁡ 3 3

3 6 arctan ⁡ 2 3 - π 6

Resposta

3 6 arctan ⁡ 2 3 - π 6

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