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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.9 - Ex. 52

52. (a) Use um CAS para encontrar o valor exato da integral

∫ - π 4 π 4 t g 4 x d x

(b) Confirme o valor exato calculando à mão.

[Sugestão: Use a identidade 1 + t g 2 x = sec 2 ⁡ x .]

Passo 1

Galera, olha só essa sugestão que eles deram!!! Muito boa, né?! Então partiu começar a questão usando ela???!!!

t g 4 x = t g 2 x t g 2 ( x ) = t g 2 x ( sec 2 ⁡ x - 1 )

Substituindo na integral, vamos ter

∫ - π 4 π 4 t g 4 x d x = ∫ - π 4 π 4 t g 2 x sec 2 ⁡ ( x ) d x - ∫ - π 4 π 4 t g 2 x d x

Passo 2

Tá. A gente vai ter que resolver duas integrais. Mas não tem problema.

Vamos começar por

∫ - π 4 π 4 t g 2 x sec 2 ⁡ ( x ) d x

Para resolver essa integral, a gente vai usar a tão famosa SUBSTITUIÇÃO!!!!

Mas você deve estar se perguntando : “Qual?”

Você deve se lembrar de que d t g x d x = sec 2 ⁡ x , então...... o mais óbvio é a gente chamar o nosso u de t g x . Assim, teremos

u = t g x ↔ d u = sec 2 ⁡ x d x

Voltando à nossa integral.....

∫ t g 2 x sec 2 ⁡ ( x ) d x = ∫ u 2 d u

Agora ficou fácil, pode falar.

Antes de continuarmos, é melhor ajeitar logo os nossos limites de integração.

Então,

x = π 4   → u = 1

x = - π 4   → u = - 1

Passo 3

Agora, é só calcular.

∫ - 1 1 u 2 d u = u 3 3 - 1 1 = 2 3

Passo 4

Partiu calcular a segunda integral ??? Essa aqui olha

∫ - π 4 π 4 t g 2 x d x

Você deve ter se esquecido dela, mas eu não. Então, vamos lá!!!

Sabemos que

t g 2 x = s e n 2 ( x ) cos 2 ⁡ ( x )

Sabe aquele s e n x ali em cima???? A gente vai substituí-lo por uma identidade trigonométrica que eu tenho certeza que você lembra.

s e n 2 x = 1 - cos 2 ⁡ x

Assim,vamos ter

∫ - π 4 π 4 t g 2 x d x = ∫ - π 4 π 4 s e n 2 ( x ) cos 2 ⁡ ( x ) d x = ∫ - π 4 π 4 1 - cos 2 ⁡ x cos 2 ⁡ ( x ) d x

∫ - π 4 π 4 1 cos 2 ⁡ ( x ) d x - ∫ - π 4 π 4 1   d x

Passo 5

Agora, vamos resolver essas duas integrais facinhas.

∫ - π 4 π 4 1 cos 2 ⁡ x d x = ∫ - π 4 π 4 sec 2 ⁡ x d x

t g π 4 - t g - π 4 = 1 - - 1 = 2

∫ - π 4 π 4 1   d x = π 4 - - π 4 = π 2

Passo 6

O último passo é juntar as respostas que obtemos ao calcular cada uma das integrais.

∫ - π 4 π 4 t g 4 x d x = 2 3 - 2 + π 2 = - 4 3 + π 2

Resposta

- 4 3 + π 2

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