Prove as identidades

senh(x + y) = senhx \* coshy + coshx \* senhy

cosh(x + y) = coshx \* coshy + senhx \* senhy

Para provar que

a) senh(2x) = senhx \* coshx + coshx \* senhx = 2 \* senhx \* coshx

b) cosh(2x) = cosh(x) \* cosh(x) + senh(x) \* senh(x) = cosh^2(x) + senh^2(x)

Passo 1

Vamos provar que valem as identidades primeiro

s e n h x   c o s h y + c o s h x   s e n h y = e x - e - x 2 ⋅ e y + e - y 2 +   e x + e - x 2 ⋅   e y - e - y 2

= e x + y + e x - y - e y - x - e - x + y 4 ⋅ e x + y - e x - y + e y - x - e - x + y 4

= 2 e x +   y - 2 e - x + y 4 = e x + y - e - x + y 2 = s e n h x + y

Passo 2

Vamos mostrar que vale a outra identidade,

c o s h x   c o s h y + s e n h x   s e n h y =   e x + e - x 2 ⋅ e y + e - y 2 + e x - e - x 2 ⋅   e y - e - y 2

e x + y + e x - y + e y - x + e - x + y 4 ⋅ e x + y - e x - y - e y - x + e - x + y 4  

= 2 e x +   y + 2 e - x + y 4 = e x + y + e - x + y 2 = c o s h ⁡ ( x + y )

Passo 3

Usando x = y nas identidades que provamos

a )   s e n h   2 x = s e n h x   c o s h x + c o s h x   s e n h x = 2   s e n h x   c o s h x

b ) cosh ⁡ 2 x =   c o s h x   c o s h x + s e n h x   s e n h x = cosh 2 ⁡ x + s e n h 2 x    

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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