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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.3 - Ex. 11

Prove as identidades

s e n h (x + y) = s e n h x c o s h y + c o s h x s e n h y

cosh (x + y) = c o s h x c o s h y + s e n h x s e n h y

Para provar que

a ) s e n h (2 x) = s e n h x c o s h x + c o s h x s e n h x = 2 s e n h x c o s h x

b ) cosh (2 x) = c o s h x c o s h x + s e n h x s e n h x = cosh^2 x + s e n h^2 x

Passo 1

Vamos provar que valem as identidades primeiro

s e n h x c o s h y + c o s h x s e n h y = ((e^x - e^(- x))/(2)) * ((e^y + e^(- y))/(2)) + ((e^x + e^(- x))/(2)) * ((e^y - e^(- y))/(2))

= ((e^(x + y) + e^(x - y) - e^(y - x) - e^(- (x + y)))/(4)) * ((e^(x + y) - e^(x - y) + e^(y - x) - e^(- (x + y)))/(4))

= (2 e^(x + y) - 2 e^(- (x + y)))/(4) = (e^(x + y) - e^(- (x + y)))/(2) = s e n h (x + y)

Passo 2

Vamos mostrar que vale a outra identidade,

c o s h x c o s h y + s e n h x s e n h y = ((e^x + e^(- x))/(2)) * ((e^y + e^(- y))/(2)) + ((e^x - e^(- x))/(2)) * ((e^y - e^(- y))/(2))

((e^(x + y) + e^(x - y) + e^(y - x) + e^(- (x + y)))/(4)) * ((e^(x + y) - e^(x - y) - e^(y - x) + e^(- (x + y)))/(4))

= (2 e^(x + y) + 2 e^(- (x + y)))/(4) = (e^(x + y) + e^(- (x + y)))/(2) = c o s h ( x + y )

Passo 3

Usando x = y nas identidades que provamos

a ) s e n h (2 x) = s e n h x c o s h x + c o s h x s e n h x = 2 s e n h x c o s h x

b ) cosh (2 x) = c o s h x c o s h x + s e n h x s e n h x = cosh^2 x + s e n h^2 x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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