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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.9 - Ex. 20

20. Se senh ⁡ x = 3 4 , encontre os valores das outras funções hiperbólicas em x .

Passo 1

Nessa questão nos é dado que:

s e n h   x = 3 4

E queremos encontrar os valores das outras funções hiperbólicas para esse x , sabendo que o seno hiperbólico vale 3 / 4 .

Para isso, podemos usar algumas relações.

A mais fácil é lembrar que a cossecante é o inverso do seno, logo:

c o s s e c h   x = 1 s e n h   x

Depois, para obtermos o cosseno, podemos usar a seguinte relação trigonométrica:

cosh 2 ⁡ x - s e n h 2 x = 1

Com o cosseno, podemos obter a secante que é o inverso do cosseno:

sech ⁡ x = 1 cosh ⁡ x

Depois, podemos obter a tangente que é o seno sobre cosseno:

tanh ⁡ x = s e n h x cosh ⁡ x

E por fim, podemos obter a cotangente que é o inverso da tangente (ou cosseno sobre seno).

c o t a n h x = 1 t a n h x = cosh ⁡ x s e n h x

Passo 2

A função mais fácil de encontrarmos o valor é a cossech ⁡ x , pois é só elevar a menos 1:

senh ⁡ x = 1 cossech ⁡ x

cossech ⁡ x = 1 senh ⁡ x

cossech ⁡ x = 1 3 4

cossech ⁡ x = 4 3

Passo 3

Podemos usar essa identidade para encontrar o valor do cosh ⁡ x :

cosh 2 ⁡ x - senh 2 ⁡ x = 1

cosh 2 ⁡ x = 1 + 3 4 2

cosh 2 ⁡ x = 1 + 9 16

cosh 2 ⁡ x = 25 16

cosh ⁡ x = 5 4

E fazendo o inverso dela, temos a sech ⁡ x :

sech ⁡ x = 1 cosh ⁡ x

sech ⁡ x = 1 5 4

sech ⁡ x = 4 5

Passo 4

Agora a tangente fica fácil, é só dividir o seno pelo cosseno:

tgh ⁡ x = senh ⁡ x cosh ⁡ x

Nós temos os valores do seno e do cosseno hiperbólicos:

tgh ⁡ x = 3 / 4 5 / 4

tgh ⁡ x = 3 5

E a cotangente hiperbólica é o inverso:

cotgh ⁡ x = 1 tgh ⁡ x

cotgh ⁡ x = 1 3 / 5

cotgh ⁡ x = 5 3

Resposta

cosh ⁡ x = 5 4

tgh ⁡ x = 3 5

cossech ⁡ x = 4 3

sech ⁡ x = 4 5

cotgh ⁡ x = 5 3

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