Enunciado

52- Prove que underset(x -> c)(lim) f (x) = L se, e somente se, underset(h -> 0)(lim) f (h + c) = L

Passo 1

Matematicamente a questão nos dá essa afirmativa:

underset(x -> c)(lim) f (x) = L harr underset(h -> 0)(lim) f (h + c) = L

Então precisamos mostrar da esquerda para direita e da direita para a esquerda.

Passo 2

Para o limite da esquerda temos:

x_0 = c , f (x) , L

Então temos:

|f (x) - c| < ϵ

O que temos:

- ϵ < f (x) - L < ϵ

- ϵ + L < f (x) < ϵ + L

Encontrando delta :

|x - c| < delta

- delta < x - c < delta

Para x != c

Passo 3

Agora para os limites da direita:

|f (h + c) - L| < ϵ

- ϵ < f (h + c) - L < ϵ

L - ϵ < f (h + c) < L + ϵ

Agora calculando para delta :

|x - 0| < delta

- delta < x < delta

Passo 4

comparando os resultados dos dois temos

- ϵ + L < f (x) < ϵ + L L - ϵ < f (h + c) < L + ϵ

E

- delta < x - c < delta - delta < x < delta

Na derivada da direita podemos dizer que:

x = h + c

Se substituir vemos que as duas primeiras equações se complementam

Então escrevemos

Então 0 < |x - c| < delta harr - delta < x - c < , x != c harr - delta < h + c - c < delta , h + c != c harr - delta < h < delta , h != 0 harr |h - 0| < delta . Logo, underset(x -> c)(lim) f (x) = L harr p a r a t o d o ϵ > 0 , e x i s t e u m delta > 0 t a l q u e |f (x) - L| < ϵ s e m p r e q u e 0 < |h - 0| < delta harr underset(h -> 0)(lim) h + c = L

O que é rebuscado mas é uma maneira de dizer, que as duas funções tem o mesmo limite para a mesma função, porém com as condições de h e c necessárias para com que as duas funções se complementem.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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