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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.2 - Ex. 35

Nos exercícios de 21 a 39, encontre o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados.

35 )   lim h → 0 ⁡ h + 1 3 - 1 h

Passo 1

Neste exercício precisamos descobrir o limite para a função dada quando h está se aproximando de 0, demonstrando os teoremas necessários para alcançá-lo.

Sabendo que:

f h = h + 1 3 - 1 h = h + 1 3 - 1 h . h + 1 3 ² + h + 1 3 + 1 h + 1 3 ² + h + 1 3 + 1 = h + 1 - 1 h h + 1 3 ² + h + 1 3 + 1 = 1 h + 1 3 ² + h + 1 3 + 1

O próximo passo é escolher o teorema a ser utilizado.

Passo 2

Então precisamos resolver:

lim h → 0 ⁡ 1 h + 1 3 ² + h + 1 3 + 1

Pelo Teorema de Limite 9:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L   e     lim x → a ⁡ g ( x ) = M ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x lim x → a ⁡ g x = L M

lim h → 0 ⁡ 1 h + 1 3 ² + h + 1 3 + 1 = l i m h → 0 1 l i m h → 0   h + 1 3 ² + h + 1 3 + 1

Pelo Teorema de Limite 4:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L   e     lim x → a ⁡ g ( x ) = M ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x ∓ g ( x ) = L ∓ M

l i m h → 0 1 l i m h → 0   h + 1 3 ² + h + 1 3 + 1 = l i m h → 0 1 l i m h → 0   h + 1 3 ² + l i m h → 0 h + 1 3 + l i m h → 0 1

Usando o Teorema 10:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L ,   e n t ã o   l i m x → a f ( x ) = L

l i m h → 0 1 l i m h → 0   h + 1 3 ² + l i m h → 0 h + 1 3 + l i m h → 0 1 = l i m h → 0 1   l i m h → 0   h + 1 3 ² + l i m h → 0   h + 1 3 + l i m h → 0 1

Pelo Teorema 2:

l i m h → 0 1 = 1

Pelo Teorema 1:

lim x → a ⁡ m x - b = m a - b

l i m h → 0   h + 1 = 0 + 1 = 1

Usando o Teorema 8:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = a ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x n = a n

l i m h → 0   ( h + 1 ) ² = 1 ² = 1

Concluindo:

l i m h → 0 1   l i m h → 0   h + 1 3 ² + l i m h → 0   h + 1 3 + l i m h → 0 1 = 1 1 + 1 + 1 = 1 3

Resposta

lim h → 0 ⁡ h + 1 3 - 1 h = 1 3

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