Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.4 - Ex. 43
Prove que
Usando a definição
Definição :
Seja uma função definida em todo número de um intervalo aberto contendo , exceto possivelmente no próprio . Quando tende a , cresce indefinidamente e escrevemos
Se para qualquer número , existir um tal que
Se então
Passo 1
Essas questões pela definição são bem chatinhas. Mas vou te mostrar como é a ideia geral.
Precisamos achar o valor de para um qualquer onde
Na prática fazemos e tentamos achar .
Nesse caso, onde , temos que partir de
E chegarmos em
Vamos com calma e conseguimos pegar o passo a passo
Passo 2
Temos
Vamos multiplicar essa desigualdade por e dividir por . Que assim já aparece o menor que alguém. Podemos fazer isso porque tanto e são positivos.
Escrevendo de forma mais próxima do que queremos
Para aparecer o módulo, vamos tirar a raiz de todo mundo
Isso porque raiz de um número ao quadrado é o módulo dele.
Módulo é sempre positivo, então temos
Então se pegarmos
Garantirmos que
Porque é só fazer o caminho inverso que escrevemos aqui. Vou reescrever no próximo passo só para te mostrar
Passo 3
Peguemos e sendo com
Elevando os dois lados ao quadrado
Multiplicando por , temos
Dividindo por temos
Mas
Então teremos que, existe um , que é
Onde
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)