Prove o Teorema 2.10.4.

Passo 1

Suporemos L < M e vamos mostrar que essa hipótese leva a uma contradição. Se L < M , existirá algum ϵ > 0 tal que L + ϵ = M . Como underset(x -> c)(lim) f ( x ) = L , existe um delta_1 > 0 tal que

Se 0 < |x - c| < delta_1 , então |f ( x ) - L| < ϵ

Se 0 < |x - c| < delta_1 , então L - ϵ < f (x) < L + ϵ

Passo 2

Substituindo L + ϵ = M , segue que existe um delta_1 > 0 tal que

Se 0 < |x - c| < delta_1 , então f (x) < M

Passo 3

Mas por hipótese, existe um delta tal que

Se 0 < |x - c| < delta , então M <= f (x)

Como temos uma contradição, então nossa hipótese de L < M é falsa. Portanto, M <= L .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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