Prove o Teorema 2.10.4.

Passo 1

Suporemos L < M e vamos mostrar que essa hipótese leva a uma contradição. Se L < M , existirá algum ϵ > 0 tal que L + ϵ = M . Como lim x → c ⁡ f ( x ) = L , existe um δ 1 > 0 tal que

Se 0 < x - c < δ 1   , então f ( x ) - L < ϵ

Se 0 < x - c < δ 1   , então L - ϵ < f x < L + ϵ

Passo 2

Substituindo L + ϵ = M , segue que existe um δ 1 > 0 tal que

Se 0 < x - c < δ 1   , então f x < M

Passo 3

Mas por hipótese, existe um δ tal que

Se 0 < x - c < δ   , então M ≤ f x

Como temos uma contradição, então nossa hipótese de L < M é falsa. Portanto, M ≤ L .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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