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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 128

Prove que se { a n } é uma sequência convergente, então para cada número positivo ϵ corresponde um inteiro N, tal que, para todo m >   N   e   n >   N   ⟹   |   a m   -   a n   | < ϵ .

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos lá #partiudemonstração

Vamos considerar a sequência { a n } convergente com lim n → ∞ ⁡ a n = L e seja ϵ > 0 arbitrário. Se lim n → ∞ ⁡ a n = L então existe N ∈ N tal que |   a n   -   L   | < ϵ 2 para todo n > N logo, temos também que |   a m   -   L   | < ϵ 2 para todo m > N .

Agora, se a n   -   a m ≤ | a n   -   L | + | a m   -   L | para todo m , n ∈ N temos que:

a n   -   a m ≤ a n   -   L + a m   -   L < ϵ 2 + ϵ 2 =   ϵ para todo m , n > N .

Se ϵ é arbitrário então temos que para todo ϵ > 0 então existe n ∈ N tal que a n   -   a m < ϵ para todo m , n > N .

Como queríamos demonstrar.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Veja a demonstração acima.

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